• 数据结构- 串的模式匹配算法:BF和 KMP算法


      数据结构- 串的模式匹配算法:BF和 KMP算法 

    Brute-Force算法的思想

    1.BF(Brute-Force)算法  

    Brute-Force算法的基本思想是:

    1) 从目标串s 的第一个字符起和模式串t的第一个字符进行比较,若相等,则继续逐个比较后续字符,否则从串s 的第二个字符起再重新和串t进行比较。

    2) 依此类推,直至串t 中的每个字符依次和串s的一个连续的字符序列相等,则称模式匹配成功,此时串t的第一个字符在串s 中的位置就是t 在s中的位置,否则模式匹配不成功。

    Brute-Force算法的实现   

    c语言实现:

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    1. // Test.cpp : Defines the entry point for the console application.    
    2. //    
    3. #include "stdafx.h"    
    4. #include <stdio.h>    
    5. #include "stdlib.h"  
    6. #include <iostream>  
    7. using namespace std;  
    8.   
    9. //宏定义      
    10. #define TRUE   1      
    11. #define FALSE   0      
    12. #define OK    1      
    13. #define ERROR   0    
    14.   
    15. #define  MAXSTRLEN 100  
    16.   
    17. typedef char    SString[MAXSTRLEN + 1];  
    18. /************************************************************************/  
    19. /*  
    20.  返回子串T在主串S中第pos位置之后的位置,若不存在,返回0 
    21. */  
    22. /************************************************************************/  
    23. int BFindex(SString S, SString T, int pos)  
    24. {  
    25.     if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  
    26.     int i = pos, j =1;  
    27.     while (i<= S[0] && j <= T[0])  
    28.     {  
    29.         if (S[i] == T[j])  
    30.         {  
    31.             ++i; ++j;  
    32.         } else {  
    33.             i = i- j+ 2;  
    34.             j = 1;  
    35.         }  
    36.     }  
    37.     if(j > T[0]) return i - T[0];  
    38.     return ERROR;  
    39. }  
    40.   
    41.   
    42.   
    43. void main(){  
    44.     SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'};  
    45.     SString T = {5,'a','b','c','a','c'};  
    46.     int pos;  
    47.     pos = BFindex( S,  T, 1);  
    48.     cout<<"Pos:"<<pos;  
    49. }  

    2.KMP算法

    2.1 算法思想:

    每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时,不需要回溯I指针,而是利用已经的带的“部分匹配”的结果将模式向右滑动尽可能远的一段距离后,继续进行比较。

    即尽量利用已经部分匹配的结果信息,尽量让i不要回溯,加快模式串的滑动速度。

    需要讨论两个问题:
    ①如何由当前部分匹配结果确定模式向右滑动的新比较起点k?
    ② 模式应该向右滑多远才是高效率的?

    现在讨论一般情况:

    假设 主串:s: ‘s(1)  s(2) s(3) ……s(n)’ ;  模式串 :p: ‘p(1)  p(2) p(3)…..p(m)’

    现在我们假设 主串第i个字符与模式串的第j(j<=m)个字符‘失配’后,主串第i个字符与模式串的第k(k<j)个字符继续比较。

    此时,s(i)≠p(j):

    由此,我们得到关系式:即得到到1 到  j -1 "部分匹配"结果:

     ‘P(1)  P(2) P(3)…..P(j-1)’   =    ’ S(i-j+1)……S(i-1)’

     从而推导出k 到 j- 1位的“部分匹配”:即Pj-1j-k=S前i-1~i- (k -1))位             

      ‘P(j - k + 1) …..P(j-1)’  =  ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’

    由于s(i)≠p(j),接下来s(i)将与p(k)继续比较,则模式串中的前(k-1)个字符的子串必须满足下列关系式,并且不可能存在  k’>k  满足下列关系式:(k<j)


    有关系式: 即(P的前k- 1 ~ 1位= S前i-1~i-(k-1) )位 ) ,:

    ‘P(1) P(2)  P(3)…..P(k-1)’ = ’S(i-k+1)S(i-k+2)……S(i-1)’

    现在我们把前面总结的关系综合一下,有:

    由上,我们得到关系:

    ‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ 

          反之,若模式串中满足该等式的两个子串,则当匹配过程中,主串中的第i 个字符与模式中的第j个字符等时,仅需要将模式向右滑动至模式中的第k个字符和主串中的第i个字符对齐。此时,模式中头k-1个字符的子串‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  必定与主串中的第i 个字符之前长度为k-1 的子串  ’s(j-k+1)s(j-k+2)……s(j-1)’相等,由此,匹配仅需要从模式中的第 k 个字符与主串中的第 i 个字符比较起 继续进行。      若令 next[j] = k ,则next[j] 表明当模式中第j个字符与主串中相应字符“失配”时,在模式中需要重新和主串中该字符进行的比较的位置。由此可引出模式串的next函数:

    根据模式串P的规律:  ‘p(1)  p(2)  p(3)…..p(k-1)’  =   ‘p(j - k + 1) …..p(j-1)’ 

    由当前失配位置j(已知) ,可以归纳计算新起点k的表达式。





    由此定义可推出下列模式串next函数值:


     

    模式匹配过程:


    KMP算法的实现:

    第一步,先把模式T所有可能的失配点j所对应的next[j]计算出来;

    第二步:执行定位函数Index_kmp(与BF算法模块非常相似)

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    1. int KMPindex(SString S, SString T, int pos)  
    2. {  
    3.     if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  
    4.     int i = pos, j =1;  
    5.     while (i<= S[0] && j <= T[0])  
    6.     {  
    7.         if (S[i] == T[j]) {  
    8.             ++i; ++j;  
    9.         } else {  
    10.             j = next[j+1];  
    11.         }  
    12.     }  
    13.     if(j > T[0]) return i - T[0];  
    14.     return ERROR;  
    15. }  

    完整实现代码:

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    1. // Test.cpp : Defines the entry point for the console application.    
    2. //    
    3. #include "stdafx.h"    
    4. #include <stdio.h>    
    5. #include "stdlib.h"  
    6. #include <iostream>  
    7. using namespace std;  
    8.   
    9. //宏定义      
    10. #define TRUE   1      
    11. #define FALSE   0      
    12. #define OK    1      
    13. #define ERROR   0    
    14.   
    15. #define  MAXSTRLEN 100  
    16.   
    17. typedef char    SString[MAXSTRLEN + 1];  
    18.   
    19. void GetNext(SString T, int next[]);  
    20. int KMPindex(SString S, SString T, int pos);  
    21. /************************************************************************/  
    22. /*  
    23.  返回子串T在主串S中第pos位置之后的位置,若不存在,返回0 
    24. */  
    25. /************************************************************************/  
    26. int KMPindex(SString S, SString T, int pos)  
    27. {  
    28.     if (pos <1 ||  pos > S[0] ) exit(ERROR);  
    29.     int i = pos, j =1;  
    30.     int next[MAXSTRLEN];  
    31.     GetNext( T, next);  
    32.     while (i<= S[0] && j <= T[0])  
    33.     {  
    34.         if (S[i] == T[j]) {  
    35.             ++i; ++j;  
    36.         } else {  
    37.             j = next[j];  
    38.         }  
    39.     }  
    40.     if(j > T[0]) return i - T[0];  
    41.     return ERROR;  
    42. }  
    43.   
    44. /************************************************************************/  
    45. /*      求子串next[i]值的算法 
    46. */  
    47. /************************************************************************/  
    48. void GetNext(SString T, int next[])  
    49. {   int j = 1, k = 0;  
    50.     next[1] = 0;  
    51.     while(j < T[0]){  
    52.         if(k == 0 || T[j]==T[k]) {     
    53.             ++j;  ++k;   next[j] = k;    
    54.         } else {  
    55.             k = next[k];   
    56.         }  
    57.     }  
    58. }  
    59.   
    60. void main(){  
    61.     SString S = {13,'a','b','a','b','c','a','b','c','a','c','b','a','b'};  
    62.     SString T = {5,'a','b','c','a','c'};  
    63.     int pos;  
    64.     pos = KMPindex( S,  T, 1);  
    65.     cout<<"Pos:"<<pos;  
    66. }  


    2.2  求串的模式值next[n]

    k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

    我们使用递推到方式求next函数:
    1)由定义可知:
         next[1] = 0;
    2)  设 next[j] = k ,这个表面在模式串中存在下列关系:
        ‘P(1)  ….. P(k-1)’  =   ‘P(j - k + 1) ….. P(j-1)’ 
        其中k为满足1< k <j的某个值,并且不可能存在k` > 满足:
        ‘P(1)  ….. P(k`-1)’  =   ‘P(j - k` + 1) ….. P(j-1)’ 
        此时next[j+1] = ?可能有两种情况:
       (1) 若Pk = Pj,则表明在模式串中:

      ‘P(1) ….. P(k)’  =   ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ 
              并且不可能存在k` > 满足:  ‘P(1) ….. P(k`)’  =   ‘P(j - k` + 1) ….. P(j)’ 
              即next[j+1] = k + 1 推到=》:

             next[j+1] = next[j] + 1;

          (2)  若PkPj 则表明在模式串中:

              ‘P(1) ….. P(k)’     ‘P(j - k + 1) ….. P(j)’ 
         此时可把next函数值的问题看成是一个模式匹配的问题,整个模式串即是主串又是模式串,
         而当前匹配的过程中,已有:

          Pj-k+1 = P1, Pj-k+2 = P2,... Pj-1 = Pk-1.
         则当PkPj时应将模式向右滑动至以模式中的第next[k]个字符和主串中的第 j 个字符相比较。
         若next[k] = k`,且Pj= Pk`, 则说明在主串中的第j+1 个字符之前存在一个长度为k` (即next[k])的最长子串,和模式串
         从首字符其长度为看k`的子串箱等。即
           ‘P(1) ….. P(k`)’  =  ‘P(j - k` + 1) ….. P(j)’ 
         也就是说next[j+1] = k` +1 即
         next[j+1] = next[k] + 1
         同理,若Pj Pk` ,则将模式继续向右滑动直至将模式串中的第next[k`]个字符和Pj对齐,
         ... ,一次类推,直至Pj和模式中某个字符匹配成功或者不存在k`(1< k` < j)满足,则:
         next[j+1] =1;

        

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     print?
    1. /************************************************************************/  
    2. /*      求子串next[i]值的算法 
    3. */  
    4. /************************************************************************/  
    5. void GetNext(SString T, int next[])  
    6. {   int j = 1, k = 0;  
    7.     next[1] = 0;  
    8.     while(j < T[0]){  
    9.         if(k == 0 || T[j]==T[k]) {     
    10.             ++j;  ++k;   next[j] = k;    
    11.         } else {  
    12.             k = next[k];   
    13.         }  
    14.     }  
    15. }  
    next 函数值究竟是什么含义,前面说过一些,这里总结。
    设在字符串S中查找模式串T,若S[m]!=T[n],那么,取T[n]的模式函数值next[n],
    1.       next[n] = 0 表示S[m]和T[1]间接比较过了,不相等,下一次比较 S[m+1] 和T[1]
    2.       next[n] =1 表示比较过程中产生了不相等,下一次比较 S[m] 和T[1]。
    3.       next[n] = k >1 但k<n, 表示,S[m]的前k个字符与T中的开始k个字符已经间接比较相等了,下一次比较S[m]和T[k]相等吗?
    4.       其他值,不可能。

    注意:

    (1)k值仅取决于模式串本身而与相匹配的主串无关。

    (2)k值为模式串从头向后及从j向前的两部分的最大相同子串的长度。

    (3)这里的两部分子串可以有部分重叠的字符,但不可以全部重叠。

    next[j]函数表征着模式P中最大相同前缀子串和后缀子串(真子串)的长度。

    可见,模式中相似部分越多,则next[j]函数越大,它既表示模式T字符之间的相关度越高,也表示j位置以前与主串部分匹配的字符数越多。

    即:next[j]越大,模式串向右滑动得越远,与主串进行比较的次数越少,时间复杂度就越低(时间效率)。

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