CCF201612-4 压缩编码（100分）

试题编号：    201612-4
试题名称：    压缩编码
时间限制：    3.0s
内存限制：    256.0MB
问题描述：    
问题描述
　　给定一段文字，已知单词a1, a2, …, an出现的频率分别t1, t2, …, tn。可以用01串给这些单词编码，即将每个单词与一个01串对应，使得任何一个单词的编码（对应的01串）不是另一个单词编码的前缀，这种编码称为前缀码。
　　使用前缀码编码一段文字是指将这段文字中的每个单词依次对应到其编码。一段文字经过前缀编码后的长度为：
　　L=a1的编码长度×t1+a2的编码长度×t2+…+ an的编码长度×tn。
　　定义一个前缀编码为字典序编码，指对于1 ≤ i < n，ai的编码（对应的01串）的字典序在ai+1编码之前，即a1, a2, …, an的编码是按字典序升序排列的。
　　例如，文字E A E C D E B C C E C B D B E中， 5个单词A、B、C、D、E出现的频率分别为1, 3, 4, 2, 5，则一种可行的编码方案是A:000, B:001, C:01, D:10, E:11，对应的编码后的01串为1100011011011001010111010011000111，对应的长度L为3×1+3×3+2×4+2×2+2×5=34。
　　在这个例子中，如果使用哈夫曼(Huffman)编码，对应的编码方案是A:000, B:01, C:10, D:001, E:11，虽然最终文字编码后的总长度只有33，但是这个编码不满足字典序编码的性质，比如C的编码的字典序不在D的编码之前。
　　在这个例子中，有些人可能会想的另一个字典序编码是A:000, B:001, C:010, D:011, E:1，编码后的文字长度为35。
　　请找出一个字典序编码，使得文字经过编码后的长度L最小。在输出时，你只需要输出最小的长度L，而不需要输出具体的方案。在上面的例子中，最小的长度L为34。
输入格式
　　输入的第一行包含一个整数n，表示单词的数量。
　　第二行包含n个整数，用空格分隔，分别表示a1, a2, …, an出现的频率，即t1, t2, …, tn。请注意a1, a2, …, an具体是什么单词并不影响本题的解，所以没有输入a1, a2, …, an。
输出格式
　　输出一个整数，表示文字经过编码后的长度L的最小值。
样例输入
5
1 3 4 2 5
样例输出
34
样例说明
　　这个样例就是问题描述中的例子。如果你得到了35，说明你算得有问题，请自行检查自己的算法而不要怀疑是样例输出写错了。
评测用例规模与约定
　　对于30%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ ti ≤ 20；
　　对于60%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ ti ≤ 100；
　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ ti ≤ 10000。

问题链接：CCF201612试题。

问题描述：（参见上文）。

问题分析：

解决本问题，首先需要知道哈夫曼编码。参见：哈夫曼编码_百度百科。

这是一个编码问题，似乎可以用哈夫曼编码来解决，但是略有不同的地方在于“每个字符的编码按照字典序排列后的顺序与原先顺序一样”。

所以无法每次取出权值最小的两个节点，而只能选择相邻的节点，到底选择哪两个相邻节点，这便是石子问题

设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：

1、dp[i][j]=0 (i==j)

2、dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k][j])+sum[i][j] (i!=j)

此时算法复杂为O(n^3)。

这里可以利用平行四边形优化降为O(n^2)：

由上面的方程式可知我们每次求dp[i][j]的关键是找到合适的k值，设p[i][j]为dp[i][j]的这个合适的k值，根据平行四边形规则有以下不等式：p[i][j-1]<=p[i][j]<=p[i+1][j]。

那么求解dp[i][i+L](L为长度)的复杂度就为：

(p[2,L+1]-p[1,L])+(p[3,L+2]-p[2,L+1])…+(p[n-L+1,n]-p[n-L,n-1])=p[n-L+1,n]-p[1,L]≤n。

复杂度为O(n)。然后L从1循环至n，总复杂度就为O(n^2)。

程序说明。：程序中，INT_MAX2值是个将就的做法，并不是整数最大值。

这里给出了两个代码程序，后一种做了优化，速度快了非常多。前一个程序运行时间是秒级的，后一个程序运行时间是毫秒级的。

提交后得100分的C++语言程序如下：

/* CCF201612-4 压缩编码 */

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INT_MAX2 = 0x7F7F7F7F;
const int N = 1000;

int v[N+1];
int sum[N+1];
int dp[N+1][N+1];

int solve(int l, int r)
{
    if(dp[l][r] == INT_MAX2)
        for(int i = l; i < r; i++)
            dp[l][r] = min(dp[l][r], solve(l, i) + solve(i+1, r) + sum[r] - sum[l-1]);

    return dp[l][r];
}

int main()
{
    int n;

    // 变量初始化：置为最大值
    memset(dp, INT_MAX2, sizeof(dp));

    // 输入数据
    cin >> n;
    sum[0] = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> v[i];

        sum[i] = sum[i-1] + v[i];
        dp[i][i] = 0;
    }

    // DP计算
    solve(1, n);

    // 输出结果
    cout << dp[1][n] << endl;

    return 0;
}

以上这个代码是由博主YueLing's Blog提供的，这里只是做了简单修改，核心代码（函数solve()）的逻辑没有改变。

提交后得100分的C++语言程序如下：

/* CCF201612-4 压缩编码 */

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INT_MAX2 = 0x7F7F7F7F;
const int N = 1000;

int v[N+1];
int sum[N+1];
int dp[N+1][N+1];
int p[N+1][N+1];

int main()
{
    int n;

    // 变量初始化：置为最大值
    memset(dp, INT_MAX2, sizeof(dp));

    // 输入数据
    cin >> n;
    sum[0] = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin >> v[i];

        sum[i] = sum[i-1] + v[i];
        dp[i][i] = 0;
        p[i][i] = i;
    }

    // DP计算
    for(int len=2; len<=n; len++)
        for(int i=1; i+len-1<=n; i++) {
            int j = i + len - 1;

            for(int k=p[i][j-1]; k<=p[i+1][j]; k++) {
                int val = dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1];
                if(dp[i][j]>val) {
                    dp[i][j] = val;
                    p[i][j] = k;
                }
            }
        }

    // 输出结果
    cout << dp[1][n] << endl;

    return 0;
}

后一个程序，核心代码来自《CCF 压缩编码》，部分代码略做修改。