• 一元函数积分学的概念与计算


    一元函数积分学的概念与计算

    概念

    • 定积分:黎曼积分\(\int_a^bf(x)=\sum\),曲边梯形面积和的极限
    • 不定积分:\(F'(x)=f(x)\)
    • 变限积分:\(F(x)=\int_a^xf(x)\)
    • 反常积分

    定积分

    概念

    1. 设函数\(f(x)\) 在区间\([a,b]\)有界
    2. 对于区间\([a,b]\)任意的一个分割,n个子区间\([x_0,x_1], (x_1,x_2], (x_2,x_3], …, (x_{n-1},x_n]\),其中\(x_0=a, x_n=b\)
    3. 每个子区间内任取\(\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]\)

    \(\lambda = \max{\Delta{x_k}}\),若\(\mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}}\)存在,则称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

    记为

    \[\int_a^b{f(x)\mathrm{d}x} = \mathop{\lim}\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)\Delta{x_k}} \]

    之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个常数, 而不是一个函数。

    定积分存在定理

    定积分存在的一个必要条件是原函数有界,否则给定任意的正数M和区间的最大长度\(\lambda\),因为\(\xi\)是任意取的,而每个\(\Delta{x}\)的长度已经确定了,所以总是能找到一小段区间,\(f(\xi)\Delta{x} > M\)

    在保证有界的前提下:

    1. 连续函数一定存在定积分
    2. 单调函数一定存在定积分
    3. 有限个间断点一定存在定积分

    可以把这个定理理解为“面积”存在定理,也就是说:

    1. 连续函数一定有面积
    2. 单调函数一定有面积
    3. 有限个间断点的函数,一定也有面积

    不定积分

    原函数和不定积分

    1. \(f(x)\)定义在区间\(I\)
    2. 存在可导函数\(F(x)\),使得\(\forall x \in I, \ F'(x) = f(x)\)

    记为\(\int{f(x)\mathrm{d}x}=F(x)+C\)

    不定积分存在性

    1. \(f(x)\)连续,则一定存在不定积分
    2. 含有一类间断点或无穷间断点的函数\(f(x)\)在包含该间断点的区间内没有原函数

    第一条的证明方法就是利用定积分,构造函数\(F(x)=\sum{sth}\),第二条的证明方法是利用洛必达法则。

    变限积分

    概念

    性质

    1. 原函数可积,变限积分连续
    2. 原函数连续,变限积分可导

    反常积分

    反常积分通过变限积分定义,而不是通过黎曼积分定义,所以不矛盾。

    计算

    基本积分公式

    \[\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \]

    \[\int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \]

    \[\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \]

    \[\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \]

    \[\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \]

    \[\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \]

    \[\int{\tan{\mathrm{d}x}} = -\ln{|\cos{x}|} + C \]

    \[\int{\cot{x\mathrm{d}x}} = \ln{|\sin{x}|} + C \]

    \[\int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \]

    \[\int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \]

    \[\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \]

    \[\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \]

    \[\int\sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \]

    \[\int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \]

    \[\int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \]

    \[\int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \]

    凑微分

    换元

    • 三角函数代换
    • 根代换:\(\sqrt{f(x)}=t\)
    • 倒代换

    分部积分

    有理函数积分

    单因式和二重因式

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ticlab/p/16644132.html
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