题目描述
HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢?例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组,返回它的最大连续子序列的和,你会不会被他忽悠住?(子向量的长度至少是1)
方法一:穷举法
我们很自然地能想到穷举的办法,穷举所有的子数组的之和,找出最大值。
i, j的for循环表示x[i..j],k的for循环用来计算x[i..j]之和。
# -*- coding:utf-8 -*- class Solution: def FindGreatestSumOfSubArray(self, array): # write code here maxsofar = 0 for i in range(0,len(array)): for j in range(i,len(array)): presum = 0 for k in range(i,j): presum += array[k] maxsofar = max(maxsofar, presum) return maxsofar #bug:不适合最大的<0的情况。 #例如:[-2,-8,-1,-5,-9] # 对应输出应该为:-1 # 你的输出为:0
有三层循环,穷举法的时间复杂度为O(n3)。
对穷举法的改进1:
我们注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]
,因此在j的for循环中,可直接求出sum。
# -*- coding:utf-8 -*- class Solution: def FindGreatestSumOfSubArray(self, array): # write code here maxsofar = 0 for i in range(0,len(array)): presum = 0 for j in range(i,len(array)): presum += array[j] maxsofar = max(maxsofar, presum) return maxsofar #bug:不适合最大的<0的情况。 #例如:[-2,-8,-1,-5,-9] # 对应输出应该为:-1 # 你的输出为:0
对穷举法的改进2
在计算fibonacci数时,应该还有印象:用一个累加数组(cumulative array)记录前面n-1次之和,计算当前时只需加上n即可。同样地,我们用累加数组cumarr记录:cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]
,那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]
。
cumarr[-1] = 0 for i = [0, n) cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i] maxsofar = 0 for i = [0, n) for j = [i, n) sum = cumarr[j] - cumarr[i-1] /* sum is sum of x[i..j] */ maxsofar = max(maxsofar, sum)
时间复杂度为o(n2)
方法二:举例分析数组的规律
思路:
最大和连续子数组一定有如下几个特点:
- 第一个不为负数
- 如果前面数的累加值加上当前数后的值会比当前数小,说明累计值对整体和是有害的;如果前面数的累加值加上当前数后的值比当前数大或者等于,则说明累计值对整体和是有益的。
步骤:
1、定义两个变量,一个用来存储之前的累加值,一个用来存储当前的最大和。遍历数组中的每个元素,假设遍历到第i个数时:
①如果前面的累加值为负数或者等于0,那对累加值清0重新累加,把当前的第i个数的值赋给累加值。
②如果前面的累加值为整数,那么继续累加,即之前的累加值加上当前第i个数的值作为新的累加值。
2、判断累加值是否大于最大值:如果大于最大值,则最大和更新;否则,继续保留之前的最大和。
# -*- coding:utf-8 -*- class Solution: def FindGreatestSumOfSubArray(self, array): # write code here sum = array[0] presum = 0 for i in array: if presum < 0: presum = i else: presum += i sum = max(presum,sum) return sum
分治法,动态规划,未完待续