树与树算法

树与树算法

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

比如说：

树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度=该节点子节点个数；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；（按照本说法正确）
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树（节点的度<=2）；霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
    • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
    • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；
  • B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。

由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2

常见的一些树的应用场景

• 1.xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
• 2.路由协议就是使用了树的算法
• 3.mysql数据库索引
• 4.文件系统的目录结构
• 5.所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

二叉树每个节点最大的度为2.

二叉树的性质(特性)

• 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
• 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
• 性质3: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
• 性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
• 性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

(1)完全二叉树——若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

二叉树的节点表示以及树的创建

通过使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, item, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = item
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点

class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        #如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:#is None
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)#弹出队列的第一个元素
            #对已有的节点进行层次遍历
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

    def breadth_travel(self):
      """广度遍历：利用队列实现树的层次遍历"""
      if self.root == None:
        return
      queue = []
      queue.append(self.root)
      while queue:
        node = queue.pop(0)
        print(node.elem,end=' ')
        if node.lchild != None:
          queue.append(node.lchild)
        if node.rchild != None:
          queue.append(node.rchild)

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。
那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。我们来给出它们的详细定义，然后举例看看它们的应用。

• 先序遍历 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树
  根节点->左子树->右子树

      def preorder(self, node):
        """递归实现先序遍历"""
        if node == None:
          return
        print(node.elem,end=' ')
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

• 中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树
  左子树->根节点->右子树

      def inorder(self, node):
        """递归实现中序遍历"""
        if node == None:
          return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem,end=' ')
        self.inorder(node.rchild)

• 后序遍历 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点
  左子树->右子树->根节点

      def postorder(self, node):
        """递归实现后序遍历"""
        if node == None:
          return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem,end=' ')
  

  
  

课堂练习： 按照如图树的结构写出三种遍历的顺序:

结果：
先序:a b c d e f g h
中序:b d c e a f h g
后序:d e c b h g f a
思考：哪两种遍历方式能够唯一的确定一颗树？？？

代码总结：

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, item, lchild=None, rchild=None):
        self.elem = item
        self.lchild = lchild
        self.rchild = rchild

class Tree(object):
    """树类"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        #如果树是空的，则对根节点赋值
        if self.root == None:#is None
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)#弹出队列的第一个元素
            #对已有的节点进行层次遍历
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def breadth_travel(self):
      """广度遍历：利用队列实现树的层次遍历"""
      if self.root == None:
        return
      queue = []
      queue.append(self.root)
      while queue:
        node = queue.pop(0)
        print(node.elem,end=' ')
        if node.lchild != None:
          queue.append(node.lchild)
        if node.rchild != None:
          queue.append(node.rchild)

    def preorder(self, node):
      """递归实现先序遍历"""
      if node == None:
        return
      print(node.elem,end=' ')
      self.preorder(node.lchild)
      self.preorder(node.rchild)

    def inorder(self, node):
      """递归实现中序遍历"""
      if node == None:
        return
      self.inorder(node.lchild)
      print(node.elem,end=' ')
      self.inorder(node.rchild)

    def postorder(self, node):
      """递归实现后序遍历"""
      if node == None:
        return
      self.postorder(node.lchild)
      self.postorder(node.rchild)
      print(node.elem,end=' ')

if __name__ == '__main__':
  tree = Tree()
  #添加数
  tree.add(0)
  tree.add(1)
  tree.add(2)
  tree.add(3)
  tree.add(4)
  tree.add(5)
  tree.add(6)
  tree.add(7)
  tree.add(8)
  tree.add(9)
  print('
广度遍历:')
  tree.breadth_travel()
  print('
先序遍历:')
  tree.preorder(tree.root)
  print('
中序遍历:')
  tree.inorder(tree.root)
  print('
后序遍历:')
  tree.postorder(tree.root)

　　结果：

广度遍历:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
先序遍历:
0 1 3 7 8 4 9 2 5 6 
中序遍历:
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6 
后序遍历:
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0 

 

由序列推出树：

先序：根--》左--》右

中序：左--》根--》右

后序：左--》右--》根

先序遍历，中序遍历，后序遍历，三种遍历中只要给出2种遍历就可以推出树，但是这2种遍历中一定要包含中序遍历才行。

只要给出先序就可以判断出所有根，通过各段首元素查看根，第一个元素肯定是整棵树的根。

只要给出后序就可以判断出所有根，通过各段末元素查看根，最后一个元素肯定是整棵树的根。

补充-------深度优先遍历非递归实现，即用栈来实现

1. 先序遍历

   import queue
   
   def PreOrderWithoutRecursion(self,node):
       '''
       非递归深度优先遍历——前序遍历
       使用栈数据结构保存结点信息
       '''
       stacknode = queue.LifoQueue()
       while(node is not None or not stacknode.empty()):
           if(node is not None):
               print(node.elem, end=' ')
               stacknode.put(node.rchild)
               node = node.lchild
           else:
               node = stacknode.get()
   

2. 中序遍历

   import queue
   def InOrderWithoutRecursion(self,node):
       '''
       非递归深度优先遍历——中序遍历
       使用栈数据结构保存结点信息
       '''
       stacknode = queue.LifoQueue()
       while(node is not None or not stacknode.empty()):
           if(node is not None):
               stacknode.put(node)
               node = node.lchild
           else:
               node = stacknode.get()
               print(node.elem, end=' ')
               node = node.rchild
   

3. 后序遍历

   import queue
   def PostOrderWithoutRecursion(self,node):
       '''
       非递归深度优先遍历——后序遍历
       使用栈数据结构保存结点信息
       保存前一个被访问过的结点
       '''
       stacknode = queue.LifoQueue()
       pre = node
       while(node is not None):
           while (node.lchild is not None):
               stacknode.put(node)
               node = node.lchild
           while (node is not None and (node.rchild is None or node.rchild == pre)):  # 当前结点没有右孩子或者右孩子刚被访问过，则访问改结点
               print(node.elem, end=' ')
               pre = node
               if (stacknode.empty()):
                   return
               node = stacknode.get()
           stacknode.put(node)
           node = node.rchild