幸运的袋子

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来源：牛客网

题目可以转化成求符合条件的集合真子集个数。每次从全集中选择若干元素（小球）组成子集（袋子）。集合子集个数为2^n个，使用dfs必然超时。且此题有重复元素，那么就搜索剪枝。

对于任意两个正整数a,b如果满足 a+b>a*b，则必有一个数为1.可用数论证明：

设a=1+x,b=1+y，则1+x+1+y>(1+x)*(1+y)，--->  1>x*y，则x，y必有一个为0，即a,b有一个为1.

 

 

推广到任意k个正整数，假设a1,a2,...ak，如果不满足给定条件，即和sum小于等于积pi，

如果此时再选择一个数b,能使其满足sum+b > pi*b，则，b必然为1，且为必要非充分条件。

反之，如果选择的b>1，则sum+b <=pi*b，即a1,a2,...,ak,b不满足给定条件。（搜索剪枝的重要依据）

因此，将球按标号升序排序。每次从小到大选择，当选择到a1,a2,...,ak-1时满足给定条件，而再增加选择ak时不满足条件（ak必然大于等于max(a1,a2,...,ak-1)），继续向后选择更大的数，必然无法满足！因此，可以进行剪枝。

如果有多个1，即当k=1时，sum(1)>pi(1)不满足，但下一个元素仍为1，则可以满足1+1>1*1，所以要判断当前ak是否等于1.

此外，对于重复数字，要去重复。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include <cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define se second
#define fi first
const int INF= 0x3f3f3f3f;
const int N=1e7+5;

int n,cnt=0, a[1005];

void dfs(int u,ll sum,ll mul)
{
    for(int i=u;i<=n;i++)
    {
        sum+=a[i];
        mul*=a[i];
        if(sum>mul){
            cnt++;
            dfs(i+1,sum,mul);
        }
        else if(a[i]==1) //这个题目a[i]必然有等于1的情况，所以以后遇见的1是重复的，不用cn++;
            dfs(i+1,sum,mul);
        else break;
        sum-=a[i];
        mul/=a[i];
        while(a[i]==a[i+1]) i++; //例如 第一次挑数字为1的球，为了不重复只能挑1个数字为1的球
    }
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    dfs(1,0,1);
    cout<<cnt<<endl;
}