• loj #6053. 简单的函数


    #6053. 简单的函数

    题目描述

    某一天,你发现了一个神奇的函数f(x)f(x)f(x),它满足很多神奇的性质:

    1. f(1)=1f(1)=1f(1)=1。
    2. f(pc)=p⊕cf(p^c)=p oplus cf(pc​​)=pc(ppp 为质数,⊕oplus⊕ 表示异或)。
    3. f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)(aaa 与 bbb 互质)。

    你看到这个函数之后十分高兴,于是就想要求出 ∑i=1nf(i)sumlimits_{i=1}^n f(i)i=1n​​f(i)。

    由于这个数比较大,你只需要输出 ni=1f(i)mod1000000007。

    输入格式

    一行一个整数 nnn。

    输出格式

    一行一个整数 ni=1f(i)mod1000000007。

    样例

    样例输入 1

    6

    样例输出 1

    16

    样例输入 2

    233333

    样例输出 2

    179004642

    样例输入3

    9876543210

    样例输出3

    895670833

    数据范围与提示

    对于30%30\%30%的数据,n≤100n leq 100n100。
    对于60%60\%60%的数据,n≤106n leq 10^6n106​​。
    对于100%100\%100%的数据,1≤n≤10101 leq n leq 10^{10}1n1010​​。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #define maxn 1000010
    #define mod 1000000007
    using namespace std;
    int p[maxn],cnt,n,f[maxn];
    bool vis[maxn];
    void prepare(){
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(!vis[i])p[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
                vis[i*p[j]]=1;
                if(i%p[j]==0)break;
            }
        }
    }
    void make(int x){
        int a=1,b=1,now=x;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            if(now==1)break;
            if(now%p[i]==0){
                if(a==1)
                    while(now%p[i]==0)a*=p[i],now/=p[i];
                else 
                    while(now%p[i]==0)b*=p[i],now/=p[i];
            }
        }
        f[x]=f[a]*f[b];
    }
    int main(){
        scanf("%d",&n);prepare();
        memset(f,-1,sizeof(f));
        f[1]=1;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            int t=0;long long mul=1;
            while(1){
                t++;
                mul=mul*(long long)p[i];
                if(mul>1LL*n)break;
                else f[mul]=p[i]^t;
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(f[i]==-1)make(i);
            ans+=f[i];
            if(ans>=mod)ans-=mod;
        }
        printf("%d
    ",ans);
        return 0;
    }
    40分 暴力
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