欧几里得算法及其扩展

一、欧几里得算法

传统的求最大公约数的方法直接枚举，对于较大的数时间复杂度较高，不符合要求。欧几里得算法，又称辗转相除法，是求最大公约数的算法，可以有效提高算法效率。

辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21( 252 = 21 × 12 ; 105 = 21 × 5 )，因为 252 − 105 = 21 × (12 − 5) = 147 ，所以147和105的最大公约数也是21(这只是基于此原理的举例)。  

简述算法内容：基于上述原理，我们可以将两个数进行转化，将较大的数不断变小，直至这两个数中的其中一个变为0，那么剩下的那个不为0的数就是两数的最大公约数。

算法描述：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

递归代码：

int Gcd(int x,int y)//x要大于y 
{ 
    return y==0?x : Gcd(y, x%y);
}

 形象点的递归代码：

int Gcd(int x,int y)
{
    if(y==0)
    return x;
    return Gcd(y, x%y);
} 

非递归代码：

int Gcd(int x,int y)//x要大于y 
{
    int tmp;
    while(y)
    {
        tmp=x%y;
        x=y;
        y=tmp;
    }
    return x;
}

 二、扩展欧几里得算法

1.定义：扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式a x + b y = gcd ( a , b ) .(贝祖等式也叫贝祖定理，即给定二个整数a、b，必存在整数x、y使得ax + by = gcd(a,b)) 。

2.具体说一下，由ax+by=gcd(a,b)，可知，

 当b=0的时候， gcd(a,b)=a，此时x=1，y=0为一组解。

 当b!=0时，设ax1+by1 =gcd(a,b)，由之前的辗转相除法可知 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，

 设bx₂+(a%b)y₂=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，  则①bx₂+(a%b)y₂=ax₁+by₁ 

 由之前的b=0时的式子已经知道了x₂=1和y₂=0，(假设a和a%b为最终状态)，那么我们需要知道x₁ , y₁，这个可以在函数递归返回的时候得到，而现在我们手头做的是递推的到解。

式子可以化为a%b=a-(a/b)*b(注意，a/b是向下取整且优先级第一)，将其带入①式，得到

b*x₂+(a-(a/b)*b)*y₂=ax₁+by₁ 

进而可以得到a*y₂+b*y₂=a*x₁+b*y₁，所以，在知道x₂和y₂ 之后，可以推出②x₁=y₂ ,③y₁=x₂ - (a/b)*y₂ ，逆向推导回去即可。

3.通解：式子ax+by=k*gcd(a,b)的通解(当k=1时就是上面的情况)，设ax₀+by₀=gcd(a,b)，则a(x₀k)+b(y₀k)=k*gcd(a,b)，那么其通解为x=x₀k+t*b/gcd(a,b) , y=y₀k-t*gcd(a,b)，t在计算中是可以消掉的

下面给出代码：

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;//这是②式 
    y=tmp-(a/b)*y;//这是③式 
    return r;
}