一本通1624樱花（数学+唯一分解定理）

#10202. 「一本通 6.2 练习 5」樱花

题意很简单，就是求给你的那个式子中（x，y）的解得数量。

但是做起来没那么容易了，基本思路是这样的：

需要想办法对式子进行整理，进而得到可以解决问题的式子。

首先把原式进行通分，得到

进行十字相乘，得到 n!(x+y)=xy ；

移项，得n!(x+y)-xy=0;

两边同时加上(n!)²，得到(n!)²-n!(x+y)-xy=(n!)²；

对其进行因式分解，得到(n!-x)(n!-y)=(n!)²；

令a=(n!-x)，b=(n!-y),式子变为 ab=(n!)²；

要求组合（x，y）的种数，即变成了求(n!)² 的因子a的种数，（n!是确定的，那么知道了a的种类数，就知道了b的种类数），

(n!)² 的因子想到唯一分解定理：n!=p1^a1+p2^a2+......+pn^an ;那么(n!)²=ab=p1^2a1+p2^2a2+......+pn^2an ；

唯一分解定理中关于因子的个数有cnt=(2×a1+1)×(2×a2+1)×...×(2×an+1) ；

问题最后就转化成了求(n!)²的因子的个数。

因为pn为质数，如果暴力求肯定会超时，所以需要素数筛来解决。

因为n!的每个质因子都不超过n,所以我们可以打表预处理1−n内所有质数p,再考虑n!内一共有多少个质因子p。

唯一分解定理讲解：唯一分解定理

素数筛讲解：素数筛法讲解 

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
const int maxn=1e6+7;
int prime[maxn];
bool isp[maxn];
int cnt;
void makeprime()//预处理素数表 
{
    cnt=0;
    memset(isp,true,sizeof(isp));
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(isp[i])
        {
        prime[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>maxn)
            break;
            isp[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            break;
        }
    }
    return ;
}
int num[maxn];//用来记录1-n!中每个素数出现的次数 
void makenum(int x)//得到次1-n!中每个素数出现的次数
{
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=x;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            while(x%prime[i]==0)
            {
                num[prime[i]]++;
                x/=prime[i];
            }
        }
    }
    if(x>1)
    num[x]++;
}
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    memset(num,0,sizeof(num));
    makeprime();
    for(int i=1;i<=n;i++)//这里每一个都要处理，因为是n!不是一个数n 
    {
        makenum(i);
    }
    ll ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)//唯一分解定理的结论 
    {
        ans=ans*((ll)num[i]*2+1)%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}