最小生成树之prim算法
边赋以权值的图称为网或带权图,带权图的生成树也是带权的,生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树(MST):权值最小的生成树。
生成树和最小生成树的应用:要连通n个城市需要n-1条边线路。可以把边上的权值解释为线路的造价。则最小生成树表示使其 造价最小的生成树。
构造网的最小生成树必须解决下面两个问题:
1、尽可能选取权值小的边,但不能构成回路;
2、选取n-1条恰当的边以连通n个顶点;
MST性质:假设G=(V,E)是一个连通网,U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边,其中u∈U,v∈V-U,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
1.prim算法
基本思想:假设G=(V,E)是连通的,TE是G上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}(u0∈V)、TE={}开始。重复执行下列操作:
在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(u0,v0)并入集合TE中,同时v0并入U,直到V=U为止。
此时,TE中必有n-1条边,T=(V,TE)为G的最小生成树。
Prim算法的核心:始终保持TE中的边集构成一棵生成树。
注意:prim算法适合稠密图,其时间复杂度为O(n^2),其时间复杂度与边得数目无关,而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关,适合稀疏图。
看了上面一大段文字是不是感觉有点晕啊,为了更好理解我在这里举一个例子,示例如下:
(1)图中有6个顶点v1-v6,每条边的边权值都在图上;在进行prim算法时,我先随意选择一个顶点作为起始点,当然我们一般选择v1作为起始点,好,现在我们设U集合为当前所找到最小生成树里面的顶点,TE集合为所找到的边,现在状态如下:
U={v1}; TE={};
(2)现在查找一个顶点在U集合中,另一个顶点在V-U集合中的最小权值,如下图,在红线相交的线上找最小值。
通过图中我们可以看到边v1-v3的权值最小为1,那么将v3加入到U集合,(v1,v3)加入到TE,状态如下:
U={v1,v3}; TE={(v1,v3)};
(3)继续寻找,现在状态为U={v1,v3}; TE={(v1,v3)};在与红线相交的边上查找最小值。
我们可以找到最小的权值为(v3,v6)=4,那么我们将v6加入到U集合,并将最小边加入到TE集合,那么加入后状态如下:
U={v1,v3,v6}; TE={(v1,v3),(v3,v6)}; 如此循环一下直到找到所有顶点为止。
(4)下图像我们展示了全部的查找过程:
2.prim算法程序设计
(1)由于最小生成树包含每个顶点,那么顶点的选中与否就可以直接用一个数组来标记used[max_vertexes];(我们这里直接使用程序代码中的变量定义,这样也易于理解);当选中一个数组的时候那么就标记,现在就有一个问题,怎么来选择最小权值边,注意这里最小权值边是有限制的,边的一个顶点一定在已选顶点中,另一个顶点当然就是在未选顶点集合中了。我最初的一个想法就是穷搜了,就是在一个集合中选择一个顶点,来查找到另一个集合中的最小值,这样虽然很易于理解,但是很明显效率不是很高,在严蔚敏的《数据结构》上提供了一种比较好的方法来解决:设置两个辅助数组lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes],lowcost[max_vertexes]数组记录从U到V-U具有最小代价的边。对于每个顶点v∈V-U,closedge[v], closeset[max_vertexes]记录了该边依附的在U中的顶点。
注意:我们在考虑两个顶点无关联的时候设为一个infinity 1000000最大值。
说了这么多,感觉有点罗嗦,还是发扬原来的风格举一个例子来说明,示例如下:
过程如下表:顶点标号都比图中的小1,比如v1为0,v2为1,这里首先选择v1点。
|
Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
closeset |
v1,infinity |
v1,6 |
v1,1 |
v1,5 |
v1,infinity |
v1,infinity |
v1 |
v1,v2,v3,v4,v5,v6 |
从这个表格可以看到依附到v1顶点的v3的Lowcost最小为1,那么选择v3,选择了之后我们必须要更新Lowcost数组的值,因为记录从U到V-U具有最小代价的边,加入之后就会改变。这里更新Lowcost和更新closeset数组可能有点难理解,
for (k=1;k<vcount;k++)
if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k]))
{ lowcost[k]=G[j][k];
closeset[k]=j; }
}
j为我们已经选出来的顶点,如果G[j][k]<lowcost[k],则意味着最小权值边发生变化,更新该顶点的最小lowcost权值,依附的顶点肯定就是刚刚选出的顶点j,closeset[k]=j。
|
Lowcost[0] |
Lowcost[1] |
Lowcost[2] |
Lowcost[3] |
Lowcost[4] |
Lowcost[5] |
U |
V-U |
closeset |
v1,infinity |
v1,6 |
v1,1 |
v1,5 |
v3,6 |
v3,4 |
v1,v3 |
v1,v2,v4,v5,v6 |
这样一直选择下去直到选出所有的顶点。
(2)上面把查找最小权值的边结束了,但是这里有一个问题,就是我们没有存储找到的边,如果要求你输出找到的边那么这个程序就需要改进了,我们刚开始的时候选取的是v1作为第一个选择的顶点,那我们设置一个father[]数组来记录每个节点的父节点,当然v1的父节点肯定没有,那么我们设置一个结束标志为-1,每次找到一个新的节点就将它的父节点设置为他依附的节点,这样就可以准确的记录边得存储了。
语法:prim(Graph G,int vcount,int father[]); |
|
参数: |
|
G: |
图,用邻接矩阵表示 |
vcount: |
表示图的顶点个数 |
father[]: |
用来记录每个节点的父节点 |
返回值: |
null |
注意: |
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常数max_vertexes为图最大节点数 |
|
常数infinity为无穷大 |
|
数组存储从0开始 |
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如果下面的源程序有错请参照测试程序。 |
源程序: |
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#define infinity 1000000 #define max_vertexes 5 typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes]; void prim(Graph G,int vcount,int father[]) { int i,j,k; int lowcost[max_vertexes]; int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; int min; for (i=0;i<vcount;i++) { /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */ lowcost[i]=G[0][i]; /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */ closeset[i]=0; used[i]=0; father[i]=-1; } used[0]=1; /*第一个节点是在U集合里的*/ /* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */ for (i=1;i<=vcount-1;i++) { j=0; min = infinity; /* 找满足条件的最小权值边的节点k */ for (k=1;k<vcount;k++) /* 边权值较小且不在生成树中 */ if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min)) { min = lowcost[k]; j=k; } father[j]=closeset[j]; used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中 for (k=1;k<vcount;k++) /* 发现更小的权值 */ if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k])) { lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/ closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/ } } }
测试程序:
测试用例:
1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
5 6 6
4 6 2
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> #define infinity 1000000 #define max_vertexes 6 typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes]; void prim(Graph G,int vcount,int father[]) { int i,j,k; int lowcost[max_vertexes]; int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes]; int min; for (i=0;i<vcount;i++) { /* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */ lowcost[i]=G[0][i]; /* 标记所有节点的依附点皆为默认的1号节点 */ closeset[i]=0; used[i]=0; father[i]=-1; } used[0]=1; /*第一个节点是在s集合里的*/ /* vcount个节点至少需要vcount-1条边构成最小生成树 */ for (i=1;i<=vcount-1;i++) { j=0; min = infinity; /* 找满足条件的最小权值边的节点k */ for (k=1;k<vcount;k++) /* 边权值较小且不在生成树中 */ if ((!used[k])&&(lowcost[k]<min)) { min = lowcost[k]; j=k; } father[j]=closeset[j]; printf("%d %d ",j+1,closeset[j]+1);//打印边 used[j]=1;;//把第j个顶点并入了U中 for (k=1;k<vcount;k++) /* 发现更小的权值 */ if (!used[k]&&(G[j][k]<lowcost[k])) { lowcost[k]=G[j][k];/*更新最小权值*/ closeset[k]=j;;/*记录新的依附点*/ } } } int main() { FILE *fr; int i,j,weight; Graph G; int fatheer[max_vertexes]; for(i=0; i<max_vertexes; i++) for(j=0; j<max_vertexes; j++) G[i][j] = infinity; fr = fopen("prim.txt","r"); if(!fr) { printf("fopen failed "); exit(1); } while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF) { G[i-1][j-1] = weight; G[j-1][i-1] = weight; } prim(G,max_vertexes,fatheer); return 0; }
程序结果:
3 1
6 3
4 6
2 3
5 2
普里姆算法实现(最小生成树)
#include <iostream> #include <string> using namespace std; typedef struct MGraph{ string vexs[10];//顶点信息 int arcs[10][10];//邻接矩阵 int vexnum, arcnum; }MGraph; typedef struct Closedge{ string adjvex; int lowcost; }minside[10]; int LocateVex(MGraph G, string u)//返回顶点u在图中的位置 { for(int i=0; i<G.vexnum;i++) if(G.vexs[i]==u) return i; return -1; } void CreateUDG(MGraph &G)//构造无向图 { string v1, v2; int w; int i, j, k; cout<<"请输入顶点数和边数:"; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; cout<<"请输入顶点:"; for(i=0; i<G.vexnum; i++) cin>>G.vexs[i]; for(i=0; i<G.vexnum; i++) for(j=0; j<G.vexnum; j++) G.arcs[i][j]=1000; cout<<"请输入边和权值:"<<endl; for(k=0; k<G.arcnum; k++) { cin>>v1>>v2>>w; i=LocateVex(G, v1); j=LocateVex(G, v2); G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i]=w; } } int minimum(minside sz, MGraph G)//求sz中lowcost的最小值,返回序号 { int i=0, j, k, min; while(!sz[i].lowcost) i++; min=sz[i].lowcost; k=i; for(j=i+1; j<G.vexnum; j++) { if(sz[j].lowcost>0 && min>sz[j].lowcost) { min=sz[j].lowcost; k=j; } } return k; } void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G, string u)//普里姆算法 { int i, j, k; minside closedge; k=LocateVex(G, u); for(j=0; j<G.vexnum; j++) { closedge[j].adjvex=u; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j]; } closedge[k].lowcost=0; cout<<"最小生成树各边为:"<<endl; for(i=1; i<G.vexnum; i++) { k=minimum(closedge, G); cout<<closedge[k].adjvex<<"-"<<G.vexs[k]<<endl; closedge[k].lowcost=0; for(j=0; j<G.vexnum; j++) { if(G.arcs[k][j] < closedge[j].lowcost) { closedge[j].adjvex=G.vexs[k]; closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j]; } } } } void main() { MGraph g; CreateUDG(g); MiniSpanTree_PRIM(g, g.vexs[0]); cout<<endl; }