奇数码问题

 

题目描述

你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3*3的网格中进行的，1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3*3的网格中。
例如：
5 2 8
1 3 _
4 6 7
在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。
例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：
5 2 8       5 2 _      5 2 8
1 _ 3       1 3 8      1 3 7
4 6 7       4 6 7      4 6 _

奇数码游戏是它的一个扩展，在一个n*n的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和1~n*n-1这n*n-1个数恰好不重不漏地分布在n*n的网格中。
空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。

现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

输入

多组数据，对于每组数据：
第1行一个整数n，n<500，n为奇数。
接下来n行每行n个整数，表示第一个局面。
接下来n行每行n个整数，表示第二个局面。
局面中每个整数都是0~n*n-1之一，其中用0代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。

输出

对于每组数据，若两个局面可达，输出TAK，否则输出NIE。

样例输入

3
1 2 3
0 4 6
7 5 8
1 2 3
4 5 6
7 8 0
1
0
0

样例输出

TAK
TAK

将一个状态表示成一维的形式，求出除0之外所有数字的逆序数之和，也就是每个数字前面比它大的数字的个数的和，称为这个状态的逆序。

若两个状态的逆序奇偶性相同，则可相互到达，否则不可相互到达。

由于原始状态的逆序为0（偶数），则逆序为偶数的状态有解。

也就是说，逆序的奇偶将所有的状态分为了两个等价类，同一个等价类中的状态都可相互到达。

 

N为偶数时，空格每上下移动一次，奇偶性改变。称空格位置所在的行到目标空格所在的行步数为空格的距离（不计左右距离），若两个状态的可相互到达，则有，两个状态的逆序奇偶性相同且空格距离为偶数，或者，逆序奇偶性不同且空格距离为奇数数。否则不能。

也就是说，当此表达式成立时，两个状态可相互到达：(状态1奇偶性==状态2奇偶性)==(空格距离%2==0)。

要开ll

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n;
ll a[N];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int x)
{
    for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    a[i]++;
}
ll sum(int x)
{
   // cout<<x<<endl;
    ll s=0;
    for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
    s+=a[i];
    return s;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        n*=n;
        ll ans1=0,ans2=0;
        int x;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if (x)
            {
                ans1+=sum(n)-sum(x);
                add(x);
            }
        }
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if (x)
            {
                ans2+=sum(n)-sum(x);
                add(x);
            }
        }
        if ((ans1%2)==(ans2%2)) printf("TAK
"); else printf("NIE
");
    }
    return 0;
}