R语言股票市场指数：ARMAGARCH模型和对数收益率数据探索性分析|附代码数据

R语言股票市场指数：ARMAGARCH模型和对数收益率数据探索性分析|附代码数据
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本文将分析工业指数（DJIA）。工业指数（DIJA）是一个股市指数，表明30家大型上市公司的价值。工业指数（DIJA）的价值基于每个组成公司的每股股票价格之和（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

时间序列分析模型 ARIMA-ARCH GARCH模型分析股票价格数据

本文将分析工业指数（DJIA）。工业指数（DIJA）是一个股市指数，表明30家大型上市公司的价值。工业指数（DIJA）的价值基于每个组成公司的每股股票价格之和。

本文将尝试回答的主要问题是：
- 这些年来收益率和交易量如何变化？
- 这些年来，收益率和交易量的波动如何变化？
- 我们如何建模收益率波动？
- 我们如何模拟交易量的波动？
为此，本文按以下内容划分：

第1部分：获取每日和每周对数收益的数据，摘要和图
第2部分：获取每日交易量及其对数比率的数据，摘要和图
第3部分：每日对数收益率分析和GARCH模型定义
第4部分：每日交易量分析和GARCH模型定义

获取数据

利用quantmod软件包中提供的getSymbols（）函数，我们可以获得2007年至2018年底的工业平均指数。
1. getSymbols("^DJI", from = "2007-01-01", to = "2019-01-01")
2. dim(DJI)
3. ## [1] 3020 6
4. class(DJI)
5. ## [1] "xts" "zoo"
让我们看一下DJI xts对象，它提供了六个时间序列，我们可以看到。
1. head(DJI)
2. ## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted
3. ## 2007-01-03 12459.54 12580.35 12404.82 12474.52 327200000 12474.52
4. ## 2007-01-04 12473.16 12510.41 12403.86 12480.69 259060000 12480.69
5. ## 2007-01-05 12480.05 12480.13 12365.41 12398.01 235220000 12398.01
6. ## 2007-01-08 12392.01 12445.92 12337.37 12423.49 223500000 12423.49
7. ## 2007-01-09 12424.77 12466.43 12369.17 12416.60 225190000 12416.60
8. ## 2007-01-10 12417.00 12451.61 12355.63 12442.16 226570000 12442.16
9. tail(DJI)
10. ## DJI.Open DJI.High DJI.Low DJI.Close DJI.Volume DJI.Adjusted
11. ## 2018-12-21 22871.74 23254.59 22396.34 22445.37 900510000 22445.37
12. ## 2018-12-24 22317.28 22339.87 21792.20 21792.20 308420000 21792.20
13. ## 2018-12-26 21857.73 22878.92 21712.53 22878.45 433080000 22878.45
14. ## 2018-12-27 22629.06 23138.89 22267.42 23138.82 407940000 23138.82
15. ## 2018-12-28 23213.61 23381.88 22981.33 23062.40 336510000 23062.40
16. ## 2018-12-31 23153.94 23333.18 23118.30 23327.46 288830000 23327.46
更准确地说，我们有可用的OHLC（开盘，高，低，收盘）指数值，调整后的收盘价和交易量。在这里，我们可以看到生成的相应图表。

我们在此分析调整后的收盘价。
```
DJI[,"DJI.Adjusted"]
```
简单对数收益率

简单的收益定义为：

对数收益率定义为：

我们计算对数收益率。
```
CalculateReturns(dj_close, method = "log")
```
让我们看看。
1. head(dj_ret)
5. ## DJI.Adjusted
7. ## 2007-01-04 0.0004945580
9. ## 2007-01-05 -0.0066467273
11. ## 2007-01-08 0.0020530973
13. ## 2007-01-09 -0.0005547987
15. ## 2007-01-10 0.0020564627
17. ## 2007-01-11 0.0058356461
19. tail(dj_ret)
23. ## DJI.Adjusted
25. ## 2018-12-21 -0.018286825
27. ## 2018-12-24 -0.029532247
29. ## 2018-12-26 0.048643314
31. ## 2018-12-27 0.011316355
33. ## 2018-12-28 -0.003308137
35. ## 2018-12-31 0.011427645
给出了下面的图。

可以看到波动率的急剧上升和下降。第3部分将对此进行深入验证。

辅助函数

我们需要一些辅助函数来简化一些基本的数据转换，摘要和绘图。

1.从xts转换为带有year and value列的数据框。这样就可以进行年度总结和绘制。
1. df\_t <- data.frame(year = factor(year(index(data\_xts))), value = coredata(data_xts))
3. colnames(df_t) <- c( "year", "value")
2.摘要统计信息，用于存储为数据框列的数据。
1. rownames(basicStats(rnorm(10,0,1))) # 基本统计数据输出行名称
3. with(dataset, tapply(value, year, basicStats))
3.返回关联的列名。
```
  colnames(basicstats\[r, which(basicstats\[r,\] > threshold), drop = FALSE\])
```
4.基于年的面板箱线图。
```
  p <- ggplot(data = data, aes(x = year, y = value)) + theme\_bw() + theme(legend.position = "none") + geom\_boxplot(fill = "blue")
```
5.密度图，以年份为基准。
1. p <- ggplot(data = data, aes(x = value)) + geom_density(fill = "lightblue")
3. p <- p + facet_wrap(. ~ year)
6.基于年份的QQ图。
1. p <- ggplot(data = dataset, aes(sample = value)) + stat\_qq(colour = "blue") + stat\_qq_line()
3. p <- p + facet_wrap(. ~ year)
7. Shapiro检验
1. pvalue <- function (v) {
3. shapiro.test(v)$p.value
5. }
每日对数收益率探索性分析

我们将原始的时间序列转换为具有年和值列的数据框。这样可以按年简化绘图和摘要。
1. head(ret_df)
5. ## year value
7. ## 1 2007 0.0004945580
9. ## 2 2007 -0.0066467273
11. ## 3 2007 0.0020530973
13. ## 4 2007 -0.0005547987
15. ## 5 2007 0.0020564627
17. ## 6 2007 0.0058356461
19. tail(ret_df)
23. ## year value
25. ## 3014 2018 -0.018286825
27. ## 3015 2018 -0.029532247
29. ## 3016 2018 0.048643314
31. ## 3017 2018 0.011316355
33. ## 3018 2018 -0.003308137
35. ## 3019 2018 0.011427645
基本统计摘要

给出了基本统计摘要。
1. ## 2007 2008 2009 2010 2011
3. ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000
5. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
7. ## Minimum -0.033488 -0.082005 -0.047286 -0.036700 -0.057061
9. ## Maximum 0.025223 0.105083 0.066116 0.038247 0.041533
11. ## 1. Quartile -0.003802 -0.012993 -0.006897 -0.003853 -0.006193
13. ## 3. Quartile 0.005230 0.007843 0.008248 0.004457 0.006531
15. ## Mean 0.000246 -0.001633 0.000684 0.000415 0.000214
17. ## Median 0.001098 -0.000890 0.001082 0.000681 0.000941
19. ## Sum 0.061427 -0.413050 0.172434 0.104565 0.053810
21. ## SE Mean 0.000582 0.001497 0.000960 0.000641 0.000837
23. ## LCL Mean -0.000900 -0.004580 -0.001207 -0.000848 -0.001434
25. ## UCL Mean 0.001391 0.001315 0.002575 0.001678 0.001861
27. ## Variance 0.000085 0.000567 0.000232 0.000104 0.000176
29. ## Stdev 0.009197 0.023808 0.015242 0.010182 0.013283
31. ## Skewness -0.613828 0.224042 0.070840 -0.174816 -0.526083
33. ## Kurtosis 1.525069 3.670796 2.074240 2.055407 2.453822
35. ## 2012 2013 2014 2015 2016
37. ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000
39. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
41. ## Minimum -0.023910 -0.023695 -0.020988 -0.036402 -0.034473
43. ## Maximum 0.023376 0.023263 0.023982 0.038755 0.024384
45. ## 1. Quartile -0.003896 -0.002812 -0.002621 -0.005283 -0.002845
47. ## 3. Quartile 0.004924 0.004750 0.004230 0.005801 0.004311
49. ## Mean 0.000280 0.000933 0.000288 -0.000090 0.000500
51. ## Median -0.000122 0.001158 0.000728 -0.000211 0.000738
53. ## Sum 0.070054 0.235068 0.072498 -0.022586 0.125884
55. ## SE Mean 0.000470 0.000403 0.000432 0.000613 0.000501
57. ## LCL Mean -0.000645 0.000139 -0.000564 -0.001298 -0.000487
59. ## UCL Mean 0.001206 0.001727 0.001139 0.001118 0.001486
61. ## Variance 0.000055 0.000041 0.000047 0.000095 0.000063
63. ## Stdev 0.007429 0.006399 0.006861 0.009738 0.007951
65. ## Skewness 0.027235 -0.199407 -0.332766 -0.127788 -0.449311
67. ## Kurtosis 0.842890 1.275821 1.073234 1.394268 2.079671
69. ## 2017 2018
71. ## nobs 251.000000 251.000000
73. ## NAs 0.000000 0.000000
75. ## Minimum -0.017930 -0.047143
77. ## Maximum 0.014468 0.048643
79. ## 1. Quartile -0.001404 -0.005017
81. ## 3. Quartile 0.003054 0.005895
83. ## Mean 0.000892 -0.000231
85. ## Median 0.000655 0.000695
87. ## Sum 0.223790 -0.057950
89. ## SE Mean 0.000263 0.000714
91. ## LCL Mean 0.000373 -0.001637
93. ## UCL Mean 0.001410 0.001175
95. ## Variance 0.000017 0.000128
97. ## Stdev 0.004172 0.011313
99. ## Skewness -0.189808 -0.522618
101. ## Kurtosis 2.244076 2.802996
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

平均值

每日对数收益率具有正平均值的年份是：
1. filter_stats(stats, "Mean", 0)
5. ## \[1\] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2016" "2017"
按升序排列。
1. ## 2008 2018 2015 2011 2007 2012 2014
3. ## Mean -0.001633 -0.000231 -9e-05 0.000214 0.000246 0.00028 0.000288
5. ## 2010 2016 2009 2017 2013
7. ## Mean 0.000415 5e-04 0.000684 0.000892 0.000933
中位数

正中位数是：
1. filter\_stats(dj\_stats, "Median", 0)
5. ## \[1\] "2007" "2009" "2010" "2011" "2013" "2014" "2016" "2017" "2018"
以升序排列。
1. ## 2008 2015 2012 2017 2010 2018 2014
3. ## Median -0.00089 -0.000211 -0.000122 0.000655 0.000681 0.000695 0.000728
5. ## 2016 2011 2009 2007 2013
7. ## Median 0.000738 0.000941 0.001082 0.001098 0.001158
偏度

偏度（Skewness）可以用来度量随机变量概率分布的不对称性。

公式：

其中

是均值，是标准差。

几何意义：

偏度的取值范围为(-∞,+∞)

当偏度<0时，概率分布图左偏（也叫负偏分布，其偏度<0）。

当偏度=0时，表示数据相对均匀的分布在平均值两侧，不一定是绝对的对称分布。

当偏度>0时，概率分布图右偏（也叫正偏分布，其偏度>0）。

例如上图中，左图形状左偏，右图形状右偏。

每日对数收益出现正偏的年份是：
```
## \[1\] "2008" "2009" "2012"
```
按升序返回对数偏度。
1. stats\["Skewness",order(stats\["Skewness",
5. ## 2007 2011 2018 2016 2014 2013
7. ## Skewness -0.613828 -0.526083 -0.522618 -0.449311 -0.332766 -0.199407
9. ## 2017 2010 2015 2012 2009 2008
11. ## Skewness -0.189808 -0.174816 -0.127788 0.027235 0.07084 0.224042
峰度

峰度（Kurtosis）可以用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。

公式：

其中是均值，是标准差。

几何意义：

峰度的取值范围为[1,+∞)，完全服从正态分布的数据的峰度值为 3，峰度值越大，概率分布图越高尖，峰度值越小，越矮胖。

例如上图中，左图是标准正太分布，峰度=3，右图的峰度=4，可以看到右图比左图更高尖。

通常我们将峰度值减去3，也被称为超值峰度（Excess Kurtosis），这样正态分布的峰度值等于0，当峰度值>0，则表示该数据分布与正态分布相比较为高尖，当峰度值<0，则表示该数据分布与正态分布相比较为矮胖。

点击标题查阅往期内容

R语言风险价值：ARIMA，GARCH，Delta-normal法滚动估计VaR（Value at Risk）和回测分析股票数据

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01

02

03

04

每日对数收益出现超值峰度的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
按升序返回超值峰度。
1. ## 2012 2014 2013 2015 2007 2010 2009
3. ## Kurtosis 0.84289 1.073234 1.275821 1.394268 1.525069 2.055407 2.07424
5. ## 2016 2017 2011 2018 2008
7. ## Kurtosis 2.079671 2.244076 2.453822 2.802996 3.670796
2018年的峰度最接近2008年。

箱形图

我们可以看到2008年出现了最极端的值。从2009年开始，除了2011年和2015年以外，其他所有值的范围都变窄了。但是，与2017年和2018年相比，产生极端值的趋势明显改善。

密度图
```
densityplot(ret_df)
```
2007年具有显着的负偏。2008年的特点是平坦。2017年的峰值与2018年的平坦度和左偏一致。

shapiro检验
1. shapirot(ret_df)
5. ## result
7. ## 2007 5.989576e-07
9. ## 2008 5.782666e-09
11. ## 2009 1.827967e-05
13. ## 2010 3.897345e-07
15. ## 2011 5.494349e-07
17. ## 2012 1.790685e-02
19. ## 2013 8.102500e-03
21. ## 2014 1.750036e-04
23. ## 2015 5.531137e-03
25. ## 2016 1.511435e-06
27. ## 2017 3.304529e-05
29. ## 2018 1.216327e-07
正常的零假设在2007-2018年的所有年份均被拒绝。

每周对数收益率探索性分析

可以从每日对数收益率开始计算每周对数收益率。让我们假设分析第{t-4，t-3，t-2，t-1，t}天的交易周，并知道第t-5天（前一周的最后一天）的收盘价。我们将每周的对数收益率定义为：

可以写为：

因此，每周对数收益率是应用于交易周窗口的每日对数收益率之和。

我们来看看每周的对数收益率。

该图显示波动率急剧上升和下降。我们将原始时间序列数据转换为数据框。
1. head(weekly\_ret\_df)
5. ## year value
7. ## 1 2007 -0.0061521694
9. ## 2 2007 0.0126690596
11. ## 3 2007 0.0007523559
13. ## 4 2007 -0.0062677053
15. ## 5 2007 0.0132434177
17. ## 6 2007 -0.0057588519
19. tail(weekly\_ret\_df)
23. ## year value
25. ## 622 2018 0.05028763
27. ## 623 2018 -0.04605546
29. ## 624 2018 -0.01189714
31. ## 625 2018 -0.07114867
33. ## 626 2018 0.02711928
35. ## 627 2018 0.01142764
基本统计摘要
1. dataframe\_basicstats(weekly\_ret_df)
5. ## 2007 2008 2009 2010 2011 2012
7. ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 52.000000
9. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
11. ## Minimum -0.043199 -0.200298 -0.063736 -0.058755 -0.066235 -0.035829
13. ## Maximum 0.030143 0.106977 0.086263 0.051463 0.067788 0.035316
15. ## 1. Quartile -0.009638 -0.031765 -0.015911 -0.007761 -0.015485 -0.010096
17. ## 3. Quartile 0.014808 0.012682 0.022115 0.016971 0.014309 0.011887
19. ## Mean 0.001327 -0.008669 0.003823 0.002011 0.001035 0.001102
21. ## Median 0.004244 -0.006811 0.004633 0.004529 0.001757 0.001166
23. ## Sum 0.069016 -0.450811 0.202605 0.104565 0.053810 0.057303
25. ## SE Mean 0.002613 0.006164 0.004454 0.003031 0.003836 0.002133
27. ## LCL Mean -0.003919 -0.021043 -0.005115 -0.004074 -0.006666 -0.003181
29. ## UCL Mean 0.006573 0.003704 0.012760 0.008096 0.008736 0.005384
31. ## Variance 0.000355 0.001975 0.001051 0.000478 0.000765 0.000237
33. ## Stdev 0.018843 0.044446 0.032424 0.021856 0.027662 0.015382
35. ## Skewness -0.680573 -0.985740 0.121331 -0.601407 -0.076579 -0.027302
37. ## Kurtosis -0.085887 5.446623 -0.033398 0.357708 0.052429 -0.461228
39. ## 2013 2014 2015 2016 2017 2018
41. ## nobs 52.000000 52.000000 53.000000 52.000000 52.000000 53.000000
43. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
45. ## Minimum -0.022556 -0.038482 -0.059991 -0.063897 -0.015317 -0.071149
47. ## Maximum 0.037702 0.034224 0.037693 0.052243 0.028192 0.050288
49. ## 1. Quartile -0.001738 -0.006378 -0.012141 -0.007746 -0.002251 -0.011897
51. ## 3. Quartile 0.011432 0.010244 0.009620 0.012791 0.009891 0.019857
53. ## Mean 0.004651 0.001756 -0.000669 0.002421 0.004304 -0.001093
55. ## Median 0.006360 0.003961 0.000954 0.001947 0.004080 0.001546
57. ## Sum 0.241874 0.091300 -0.035444 0.125884 0.223790 -0.057950
59. ## SE Mean 0.001828 0.002151 0.002609 0.002436 0.001232 0.003592
61. ## LCL Mean 0.000981 -0.002563 -0.005904 -0.002470 0.001830 -0.008302
63. ## UCL Mean 0.008322 0.006075 0.004567 0.007312 0.006778 0.006115
65. ## Variance 0.000174 0.000241 0.000361 0.000309 0.000079 0.000684
67. ## Stdev 0.013185 0.015514 0.018995 0.017568 0.008886 0.026154
69. ## Skewness -0.035175 -0.534403 -0.494963 -0.467158 0.266281 -0.658951
71. ## Kurtosis -0.200282 0.282354 0.665460 2.908942 -0.124341 -0.000870
在下文中，我们对上述一些相关指标进行了具体评论。

平均值

每周对数收益呈正平均值的年份是：
```
## \[1\] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2016" "2017"
```
所有平均值按升序排列。
1. ## 2008 2018 2015 2011 2012 2007 2014
3. ## Mean -0.008669 -0.001093 -0.000669 0.001035 0.001102 0.001327 0.001756
5. ## 2010 2016 2009 2017 2013
7. ## Mean 0.002011 0.002421 0.003823 0.004304 0.004651
中位数

中位数是：
1. ## \[1\] "2007" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016" "2017"
3. ## \[11\] "2018"
所有中值按升序排列。
1. ## 2008 2015 2012 2018 2011 2016 2014
3. ## Median -0.006811 0.000954 0.001166 0.001546 0.001757 0.001947 0.003961
5. ## 2017 2007 2010 2009 2013
7. ## Median 0.00408 0.004244 0.004529 0.004633 0.00636
偏度

出现正偏的年份是：
1. stats(stats, "Skewness", 0)
5. ## \[1\] "2009" "2017"
所有偏度按升序排列。
1. stats\["Skewness",order(stats\["Skewness",,\])\]
5. ## 2008 2007 2018 2010 2014 2015
7. ## Skewness -0.98574 -0.680573 -0.658951 -0.601407 -0.534403 -0.494963
9. ## 2016 2011 2013 2012 2009 2017
11. ## Skewness -0.467158 -0.076579 -0.035175 -0.027302 0.121331 0.266281
峰度

出现正峰度的年份是：
1. filter_stats(stats, "Kurtosis", 0)
5. ## \[1\] "2008" "2010" "2011" "2014" "2015" "2016"
峰度值都按升序排列。
1. ## 2012 2013 2017 2007 2009 2018
3. ## Kurtosis -0.461228 -0.200282 -0.124341 -0.085887 -0.033398 -0.00087
5. ## 2011 2014 2010 2015 2016 2008
7. ## Kurtosis 0.052429 0.282354 0.357708 0.66546 2.908942 5.446623
2008年也是每周峰度最高的年份。但是，在这种情况下，2017年的峰度为负，而2016年的峰度为第二。

箱形图

密度图

shapiro检验
1. shapirot(weekly_df)
5. ## result
7. ## 2007 0.0140590311
9. ## 2008 0.0001397267
11. ## 2009 0.8701335006
13. ## 2010 0.0927104389
15. ## 2011 0.8650874270
17. ## 2012 0.9934600084
19. ## 2013 0.4849043121
21. ## 2014 0.1123139646
23. ## 2015 0.3141519756
25. ## 2016 0.0115380989
27. ## 2017 0.9465281164
29. ## 2018 0.0475141869
零假设在2007、2008、2016年被拒绝。

QQ图

在2008年尤其明显地违背正态分布的情况。

交易量探索性分析

在这一部分中，本文将分析道琼斯工业平均指数（DJIA）的交易量。

获取数据

每日量探索性分析

我们绘制每日交易量。
1. vol <- DJI\[,"DJI.Volume"\]
3. plot(vol)
值得注意的是，2017年初的水平跃升，我们将在第4部分中进行研究。我们将时间序列数据和时间轴索引转换为数据框。
1. head(dj\_vol\_df)
5. ## year value
7. ## 1 2007 327200000
9. ## 2 2007 259060000
11. ## 3 2007 235220000
13. ## 4 2007 223500000
15. ## 5 2007 225190000
17. ## 6 2007 226570000
19. tail(dj\_vol\_df)
23. ## year value
25. ## 3015 2018 900510000
27. ## 3016 2018 308420000
29. ## 3017 2018 433080000
31. ## 3018 2018 407940000
33. ## 3019 2018 336510000
35. ## 3020 2018 288830000
基本统计摘要
1. ## 2007 2008 2009 2010
3. ## nobs 2.510000e+02 2.530000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02
5. ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
7. ## Minimum 8.640000e+07 6.693000e+07 5.267000e+07 6.840000e+07
9. ## Maximum 4.571500e+08 6.749200e+08 6.729500e+08 4.598900e+08
11. ## 1. Quartile 2.063000e+08 2.132100e+08 1.961850e+08 1.633400e+08
13. ## 3. Quartile 2.727400e+08 3.210100e+08 3.353625e+08 2.219025e+08
15. ## Mean 2.449575e+08 2.767164e+08 2.800537e+08 2.017934e+08
17. ## Median 2.350900e+08 2.569700e+08 2.443200e+08 1.905050e+08
19. ## Sum 6.148432e+10 7.000924e+10 7.057354e+10 5.085193e+10
21. ## SE Mean 3.842261e+06 5.965786e+06 7.289666e+06 3.950031e+06
23. ## LCL Mean 2.373901e+08 2.649672e+08 2.656970e+08 1.940139e+08
25. ## UCL Mean 2.525248e+08 2.884655e+08 2.944104e+08 2.095728e+08
27. ## Variance 3.705505e+15 9.004422e+15 1.339109e+16 3.931891e+15
29. ## Stdev 6.087286e+07 9.489163e+07 1.157199e+08 6.270480e+07
31. ## Skewness 9.422400e-01 1.203283e+00 1.037015e+00 1.452082e+00
33. ## Kurtosis 1.482540e+00 2.064821e+00 6.584810e-01 3.214065e+00
35. ## 2011 2012 2013 2014
37. ## nobs 2.520000e+02 2.500000e+02 2.520000e+02 2.520000e+02
39. ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
41. ## Minimum 8.410000e+06 4.771000e+07 3.364000e+07 4.287000e+07
43. ## Maximum 4.799800e+08 4.296100e+08 4.200800e+08 6.554500e+08
45. ## 1. Quartile 1.458775e+08 1.107150e+08 9.488000e+07 7.283000e+07
47. ## 3. Quartile 1.932400e+08 1.421775e+08 1.297575e+08 9.928000e+07
49. ## Mean 1.804133e+08 1.312606e+08 1.184434e+08 9.288516e+07
51. ## Median 1.671250e+08 1.251950e+08 1.109250e+08 8.144500e+07
53. ## Sum 4.546415e+10 3.281515e+10 2.984773e+10 2.340706e+10
55. ## SE Mean 3.897738e+06 2.796503e+06 2.809128e+06 3.282643e+06
57. ## LCL Mean 1.727369e+08 1.257528e+08 1.129109e+08 8.642012e+07
59. ## UCL Mean 1.880897e+08 1.367684e+08 1.239758e+08 9.935019e+07
61. ## Variance 3.828475e+15 1.955108e+15 1.988583e+15 2.715488e+15
63. ## Stdev 6.187468e+07 4.421660e+07 4.459353e+07 5.211034e+07
65. ## Skewness 1.878239e+00 3.454971e+00 3.551752e+00 6.619268e+00
67. ## Kurtosis 5.631080e+00 1.852581e+01 1.900989e+01 5.856136e+01
69. ## 2015 2016 2017 2018
71. ## nobs 2.520000e+02 2.520000e+02 2.510000e+02 2.510000e+02
73. ## NAs 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00 0.000000e+00
75. ## Minimum 4.035000e+07 4.589000e+07 1.186100e+08 1.559400e+08
77. ## Maximum 3.445600e+08 5.734700e+08 6.357400e+08 9.005100e+08
79. ## 1. Quartile 8.775250e+07 8.224250e+07 2.695850e+08 2.819550e+08
81. ## 3. Quartile 1.192150e+08 1.203550e+08 3.389950e+08 4.179200e+08
83. ## Mean 1.093957e+08 1.172089e+08 3.112396e+08 3.593710e+08
85. ## Median 1.021000e+08 9.410500e+07 2.996700e+08 3.414700e+08
87. ## Sum 2.756772e+10 2.953664e+10 7.812114e+10 9.020213e+10
89. ## SE Mean 2.433611e+06 4.331290e+06 4.376432e+06 6.984484e+06
91. ## LCL Mean 1.046028e+08 1.086786e+08 3.026202e+08 3.456151e+08
93. ## UCL Mean 1.141886e+08 1.257392e+08 3.198590e+08 3.731270e+08
95. ## Variance 1.492461e+15 4.727538e+15 4.807442e+15 1.224454e+16
97. ## Stdev 3.863238e+07 6.875709e+07 6.933572e+07 1.106550e+08
99. ## Skewness 3.420032e+00 3.046742e+00 1.478708e+00 1.363823e+00
101. ## Kurtosis 1.612326e+01 1.122161e+01 3.848619e+00 3.277164e+00
在下文中，我们对上面显示的一些相关指标进行了评论。

平均值

每日交易量具有正平均值的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
所有每日交易量均值按升序排列。
1. ## 2014 2015 2016 2013 2012 2011 2010
3. ## Mean 92885159 109395714 117208889 118443373 131260600 180413294 201793373
5. ## 2007 2008 2009 2017 2018
7. ## Mean 244957450 276716364 280053730 311239602 359371036
中位数

每日交易量中位数为正的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
所有每日成交量中值均按升序排列。
1. ## 2014 2016 2015 2013 2012 2011 2010
3. ## Median 81445000 94105000 102100000 110925000 125195000 167125000 190505000
5. ## 2007 2009 2008 2017 2018
7. ## Median 235090000 244320000 256970000 299670000 341470000
偏度

每日交易量出现正偏的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
每日交易量偏度值均按升序排列。
1. ## 2007 2009 2008 2018 2010 2017 2011
3. ## Skewness 0.94224 1.037015 1.203283 1.363823 1.452082 1.478708 1.878239
5. ## 2016 2015 2012 2013 2014
7. ## Skewness 3.046742 3.420032 3.454971 3.551752 6.619268
峰度

有正峰度的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
按升序排列。
1. ## 2009 2007 2008 2010 2018 2017 2011
3. ## Kurtosis 0.658481 1.48254 2.064821 3.214065 3.277164 3.848619 5.63108
5. ## 2016 2015 2012 2013 2014
7. ## Kurtosis 11.22161 16.12326 18.52581 19.00989 58.56136
箱形图

从2010年开始交易量开始下降，2017年出现了显着增长。2018年的交易量甚至超过了2017年和其他年份。

密度图

shapiro检验
1. ## result
3. ## 2007 6.608332e-09
5. ## 2008 3.555102e-10
7. ## 2009 1.023147e-10
9. ## 2010 9.890576e-13
11. ## 2011 2.681476e-16
13. ## 2012 1.866544e-20
15. ## 2013 6.906596e-21
17. ## 2014 5.304227e-27
19. ## 2015 2.739912e-21
21. ## 2016 6.640215e-23
23. ## 2017 4.543843e-12
25. ## 2018 9.288371e-11
正态分布的零假设被拒绝。

QQ图

QQplots直观地确认了每日交易量分布的非正态情况。

每日交易量对数比率探索性分析

与对数收益类似，我们可以将交易量对数比率定义为

vt：= ln(Vt/Vt−1)
我们可以通过PerformanceAnalytics包中的CalculateReturns对其进行计算并将其绘制出来。
```
plot(vol\_log\_ratio)
```
将交易量对数比率时间序列数据和时间轴索引映射到数据框。
1. head(dvol_df)
5. ## year value
7. ## 1 2007 -0.233511910
9. ## 2 2007 -0.096538449
11. ## 3 2007 -0.051109832
13. ## 4 2007 0.007533076
15. ## 5 2007 0.006109458
17. ## 6 2007 0.144221282
19. tail(vol_df)
23. ## year value
25. ## 3014 2018 0.44563907
27. ## 3015 2018 -1.07149878
29. ## 3016 2018 0.33945998
31. ## 3017 2018 -0.05980236
33. ## 3018 2018 -0.19249224
35. ## 3019 2018 -0.15278959
基本统计摘要
1. ## 2007 2008 2009 2010 2011
3. ## nobs 250.000000 253.000000 252.000000 252.000000 252.000000
5. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
7. ## Minimum -1.606192 -1.122526 -1.071225 -1.050181 -2.301514
9. ## Maximum 0.775961 0.724762 0.881352 1.041216 2.441882
11. ## 1. Quartile -0.123124 -0.128815 -0.162191 -0.170486 -0.157758
13. ## 3. Quartile 0.130056 0.145512 0.169233 0.179903 0.137108
15. ## Mean -0.002685 0.001203 -0.001973 -0.001550 0.000140
17. ## Median -0.010972 0.002222 -0.031748 -0.004217 -0.012839
19. ## Sum -0.671142 0.304462 -0.497073 -0.390677 0.035162
21. ## SE Mean 0.016984 0.016196 0.017618 0.019318 0.026038
23. ## LCL Mean -0.036135 -0.030693 -0.036670 -0.039596 -0.051141
25. ## UCL Mean 0.030766 0.033100 0.032725 0.036495 0.051420
27. ## Variance 0.072112 0.066364 0.078219 0.094041 0.170850
29. ## Stdev 0.268536 0.257612 0.279677 0.306661 0.413341
31. ## Skewness -0.802037 -0.632586 0.066535 -0.150523 0.407226
33. ## Kurtosis 5.345212 2.616615 1.500979 1.353797 14.554642
35. ## 2012 2013 2014 2015 2016
37. ## nobs 250.000000 252.000000 252.000000 252.000000 252.000000
39. ## NAs 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
41. ## Minimum -2.158960 -1.386215 -2.110572 -1.326016 -1.336471
43. ## Maximum 1.292956 1.245202 2.008667 1.130289 1.319713
45. ## 1. Quartile -0.152899 -0.145444 -0.144280 -0.143969 -0.134011
47. ## 3. Quartile 0.144257 0.149787 0.134198 0.150003 0.141287
49. ## Mean 0.001642 -0.002442 0.000200 0.000488 0.004228
51. ## Median -0.000010 -0.004922 0.013460 0.004112 -0.002044
53. ## Sum 0.410521 -0.615419 0.050506 0.123080 1.065480
55. ## SE Mean 0.021293 0.019799 0.023514 0.019010 0.019089
57. ## LCL Mean -0.040295 -0.041435 -0.046110 -0.036952 -0.033367
59. ## UCL Mean 0.043579 0.036551 0.046510 0.037929 0.041823
61. ## Variance 0.113345 0.098784 0.139334 0.091071 0.091826
63. ## Stdev 0.336667 0.314299 0.373274 0.301780 0.303028
65. ## Skewness -0.878227 -0.297951 -0.209417 -0.285918 0.083826
67. ## Kurtosis 8.115847 4.681120 9.850061 4.754926 4.647785
69. ## 2017 2018
71. ## nobs 251.000000 251.000000
73. ## NAs 0.000000 0.000000
75. ## Minimum -0.817978 -1.071499
77. ## Maximum 0.915599 0.926101
79. ## 1. Quartile -0.112190 -0.119086
81. ## 3. Quartile 0.110989 0.112424
83. ## Mean -0.000017 0.000257
85. ## Median -0.006322 0.003987
87. ## Sum -0.004238 0.064605
89. ## SE Mean 0.013446 0.014180
91. ## LCL Mean -0.026500 -0.027671
93. ## UCL Mean 0.026466 0.028185
95. ## Variance 0.045383 0.050471
97. ## Stdev 0.213032 0.224658
99. ## Skewness 0.088511 -0.281007
101. ## Kurtosis 3.411036 4.335748
在下文中，我们对一些相关的上述指标进行了具体评论。

平均值

每日交易量对数比率具有正平均值的年份是：
```
## \[1\] "2008" "2011" "2012" "2014" "2015" "2016" "2018"
```
所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
1. ## 2007 2013 2009 2010 2017 2011 2014
3. ## Mean -0.002685 -0.002442 -0.001973 -0.00155 -1.7e-05 0.00014 2e-04
5. ## 2018 2015 2008 2012 2016
7. ## Mean 0.000257 0.000488 0.001203 0.001642 0.004228
中位数

每日交易量对数比率具有正中位数的年份是：
```
## \[1\] "2008" "2014" "2015" "2018"
```
道琼斯所有每日成交量比率的中位数均按升序排列。
1. ## 2009 2011 2007 2017 2013 2010
3. ## Median -0.031748 -0.012839 -0.010972 -0.006322 -0.004922 -0.004217
5. ## 2016 2012 2008 2018 2015 2014
7. ## Median -0.002044 -1e-05 0.002222 0.003987 0.004112 0.01346
偏度

每日成交量比率具有正偏的年份是：
```
## \[1\] "2009" "2011" "2016" "2017"
```
所有每日成交量比率的平均值均按升序排列。
1. ## 2012 2007 2008 2013 2015 2018
3. ## Skewness -0.878227 -0.802037 -0.632586 -0.297951 -0.285918 -0.281007
5. ## 2014 2010 2009 2016 2017 2011
7. ## Skewness -0.209417 -0.150523 0.066535 0.083826 0.088511 0.407226
峰度

有正峰度的年份是：
1. ## \[1\] "2007" "2008" "2009" "2010" "2011" "2012" "2013" "2014" "2015" "2016"
3. ## \[11\] "2017" "2018"
均按升序排列。
1. ## 2010 2009 2008 2017 2018 2016 2013
3. ## Kurtosis 1.353797 1.500979 2.616615 3.411036 4.335748 4.647785 4.68112
5. ## 2015 2007 2012 2014 2011
7. ## Kurtosis 4.754926 5.345212 8.115847 9.850061 14.55464
箱形图

可以在2011、2014和2016年发现正的极端值。在2007、2011、2012、2014年可以发现负的极端值。

密度图

shapiro检验
1. ## result
3. ## 2007 3.695053e-09
5. ## 2008 6.160136e-07
7. ## 2009 2.083475e-04
9. ## 2010 1.500060e-03
11. ## 2011 3.434415e-18
13. ## 2012 8.417627e-12
15. ## 2013 1.165184e-10
17. ## 2014 1.954662e-16
19. ## 2015 5.261037e-11
21. ## 2016 7.144940e-11
23. ## 2017 1.551041e-08
25. ## 2018 3.069196e-09
基于报告的p值，我们可以拒绝所有正态分布的零假设。

QQ图

在所有报告的年份都可以发现偏离正态状态。

对数收益率GARCH模型

我将为工业平均指数（DJIA）的每日对数收益率建立一个ARMA-GARCH模型。

这是工业平均指数每日对数收益的图。
```
plot(ret)
```
离群值检测

Performance Analytics程序包中的Return.clean函数能够清除异常值。在下面，我们将原始时间序列与调整离群值后的进行比较。
```
clean(ret, "boudt")
```
作为对波动率评估的更为保守的方法，本文将以原始时间序列进行分析。

相关图

以下是自相关和偏相关图。
```
acf(ret)
```
```
pacf(dj_ret)
```
上面的相关图表明p和q> 0的一些ARMA（p，q）模型。将在本分析的该范围内对此进行验证。

单位根检验

我们运行Augmented Dickey-Fuller检验。
1. ##
3. ## ###############################################
5. ## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
7. ## ###############################################
9. ##
11. ## Test regression none
13. ##
15. ##
17. ## Call:
19. ## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
21. ##
23. ## Residuals:
25. ## Min 1Q Median 3Q Max
27. ## -0.081477 -0.004141 0.000762 0.005426 0.098777
29. ##
31. ## Coefficients:
33. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
35. ## z.lag.1 -1.16233 0.02699 -43.058 < 2e-16 ***
37. ## z.diff.lag 0.06325 0.01826 3.464 0.000539 ***
39. ## ---
41. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
43. ##
45. ## Residual standard error: 0.01157 on 2988 degrees of freedom
47. ## Multiple R-squared: 0.5484, Adjusted R-squared: 0.5481
49. ## F-statistic: 1814 on 2 and 2988 DF, p-value: < 2.2e-16
51. ##
53. ##
55. ## Value of test-statistic is: -43.0578
57. ##
59. ## Critical values for test statistics:
61. ## 1pct 5pct 10pct
63. ## tau1 -2.58 -1.95 -1.62
基于报告的检验统计数据与临界值的比较，我们拒绝单位根存在的零假设。

ARMA模型

现在，我们确定时间序列的ARMA结构，以便对结果残差进行ARCH效应检验。ACF和PACF系数拖尾表明存在ARMA（2,2）。我们利用auto.arima（）函数开始构建。
1. ## Series: ret
3. ## ARIMA(2,0,4) with zero mean
5. ##
7. ## Coefficients:
9. ## ar1 ar2 ma1 ma2 ma3 ma4
11. ## 0.4250 -0.8784 -0.5202 0.8705 -0.0335 -0.0769
13. ## s.e. 0.0376 0.0628 0.0412 0.0672 0.0246 0.0203
15. ##
17. ## sigma^2 estimated as 0.0001322: log likelihood=9201.19
19. ## AIC=-18388.38 AICc=-18388.34 BIC=-18346.29
21. ##
23. ## Training set error measures:
25. ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
27. ## Training set 0.0002416895 0.01148496 0.007505056 NaN Inf 0.6687536
29. ## ACF1
31. ## Training set -0.002537238
建议使用ARMA（2,4）模型。但是，ma3系数在统计上并不显着，进一步通过以下方法验证：
1. ## z test of coefficients:
3. ##
5. ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
7. ## ar1 0.425015 0.037610 11.3007 < 2.2e-16 ***
9. ## ar2 -0.878356 0.062839 -13.9779 < 2.2e-16 ***
11. ## ma1 -0.520173 0.041217 -12.6204 < 2.2e-16 ***
13. ## ma2 0.870457 0.067211 12.9511 < 2.2e-16 ***
15. ## ma3 -0.033527 0.024641 -1.3606 0.1736335
17. ## ma4 -0.076882 0.020273 -3.7923 0.0001492 ***
19. ## ---
21. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
因此，我们将MA阶q <= 2作为约束。
1. ## Series: dj_ret
3. ## ARIMA(2,0,2) with zero mean
5. ##
7. ## Coefficients:
9. ## ar1 ar2 ma1 ma2
11. ## -0.5143 -0.4364 0.4212 0.3441
13. ## s.e. 0.1461 0.1439 0.1512 0.1532
15. ##
17. ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood=9196.33
19. ## AIC=-18382.66 AICc=-18382.64 BIC=-18352.6
21. ##
23. ## Training set error measures:
25. ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
27. ## Training set 0.0002287171 0.01150361 0.007501925 Inf Inf 0.6684746
29. ## ACF1
31. ## Training set -0.002414944
现在，所有系数都具有统计意义。
1. ## z test of coefficients:
3. ##
5. ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
7. ## ar1 -0.51428 0.14613 -3.5192 0.0004328 ***
9. ## ar2 -0.43640 0.14392 -3.0322 0.0024276 **
11. ## ma1 0.42116 0.15121 2.7853 0.0053485 **
13. ## ma2 0.34414 0.15323 2.2458 0.0247139 *
15. ## ---
17. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
使用ARMA（2,1）和ARMA（1,2）进行的进一步验证得出的AIC值高于ARMA（2,2）。因此，ARMA（2,2）是更可取的。这是结果。
1. ## Series: dj_ret
3. ## ARIMA(2,0,1) with zero mean
5. ##
7. ## Coefficients:
9. ## ar1 ar2 ma1
11. ## -0.4619 -0.1020 0.3646
13. ## s.e. 0.1439 0.0204 0.1438
15. ##
17. ## sigma^2 estimated as 0.0001327: log likelihood=9194.1
19. ## AIC=-18380.2 AICc=-18380.19 BIC=-18356.15
21. ##
23. ## Training set error measures:
25. ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
27. ## Training set 0.0002370597 0.01151213 0.007522059 Inf Inf 0.6702687
29. ## ACF1
31. ## Training set 0.0009366271
33. coeftest(auto_model3)
37. ##
39. ## z test of coefficients:
41. ##
43. ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
45. ## ar1 -0.461916 0.143880 -3.2104 0.001325 **
47. ## ar2 -0.102012 0.020377 -5.0062 5.552e-07 ***
49. ## ma1 0.364628 0.143818 2.5353 0.011234 *
51. ## ---
53. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。
1. ## ARIMA(1,0,2) with zero mean
3. ##
5. ## Coefficients:
7. ## ar1 ma1 ma2
9. ## -0.4207 0.3259 -0.0954
11. ## s.e. 0.1488 0.1481 0.0198
13. ##
15. ## sigma^2 estimated as 0.0001328: log likelihood=9193.01
17. ## AIC=-18378.02 AICc=-18378 BIC=-18353.96
19. ##
21. ## Training set error measures:
23. ## ME RMSE MAE MPE MAPE MASE
25. ## Training set 0.0002387398 0.0115163 0.007522913 Inf Inf 0.6703448
27. ## ACF1
29. ## Training set -0.001958194
31. coeftest(auto_model4)
35. ##
37. ## z test of coefficients:
39. ##
41. ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
43. ## ar1 -0.420678 0.148818 -2.8268 0.004702 **
45. ## ma1 0.325918 0.148115 2.2004 0.027776 *
47. ## ma2 -0.095407 0.019848 -4.8070 1.532e-06 ***
49. ## ---
51. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
所有系数均具有统计学意义。此外，我们使用TSA软件包报告中的eacf（）函数。
1. ## AR/MA
3. ## 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5. ## 0 x x x o x o o o o o o o o x
7. ## 1 x x o o x o o o o o o o o o
9. ## 2 x o o x x o o o o o o o o o
11. ## 3 x o x o x o o o o o o o o o
13. ## 4 x x x x x o o o o o o o o o
15. ## 5 x x x x x o o x o o o o o o
17. ## 6 x x x x x x o o o o o o o o
19. ## 7 x x x x x o o o o o o o o o
以“ O”为顶点的左上三角形位于（p，q）= {（1,2 ,,（2,2），（1,3）}}内，它表示一组潜在候选对象（p，q）值。ARMA（1,2）模型已经过验证。ARMA（2,2）已经是候选模型。让我们验证ARMA（1,3）。
1. ## Call:
3. ##
5. ## Coefficients:
7. ## ar1 ma1 ma2 ma3
9. ## -0.2057 0.1106 -0.0681 0.0338
11. ## s.e. 0.2012 0.2005 0.0263 0.0215
13. ##
15. ## sigma^2 estimated as 0.0001325: log likelihood = 9193.97, aic = -18379.94
17. coeftest(arima_model5)
21. ##
23. ## z test of coefficients:
25. ##
27. ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
29. ## ar1 -0.205742 0.201180 -1.0227 0.306461
31. ## ma1 0.110599 0.200475 0.5517 0.581167
33. ## ma2 -0.068124 0.026321 -2.5882 0.009647 **
35. ## ma3 0.033832 0.021495 1.5739 0.115501
37. ## ---
39. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
只有一个系数具有统计意义。

结论是，我们选择ARMA（2,2）作为均值模型。现在，我们可以继续进行ARCH效果检验。

ARCH效应检验

现在，我们可以检验模型残差上是否存在ARCH效应。如果ARCH效应对于我们的时间序列的残差在统计上显着，则需要GARCH模型。
1. ## ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects
3. ##
5. ## data: model\_residuals - mean(model\_residuals)
7. ## Chi-squared = 986.82, df = 12, p-value < 2.2e-16
基于报告的p值，我们拒绝没有ARCH效应的原假设。

让我们看一下残差相关图。

条件波动率

条件均值和方差定义为：

μt：= E（rt | Ft-1）σt2：= Var（rt | Ft-1）= E [（rt-μt）2 | Ft-1]

条件波动率可以计算为条件方差的平方根。

eGARCH模型

将sGARCH作为方差模型的尝试未获得具有统计显着性系数的结果。而指数GARCH（eGARCH）方差模型能够捕获波动率内的不对称性。要检查DJIA对数收益率内的不对称性，显示汇总统计数据和密度图。
1. ## DAdjusted
3. ## nobs 3019.000000
5. ## NAs 0.000000
7. ## Minimum -0.082005
9. ## Maximum 0.105083
11. ## 1. Quartile -0.003991
13. ## 3. Quartile 0.005232
15. ## Mean 0.000207
17. ## Median 0.000551
19. ## Sum 0.625943
21. ## SE Mean 0.000211
23. ## LCL Mean -0.000206
25. ## UCL Mean 0.000621
27. ## Variance 0.000134
29. ## Stdev 0.011593
31. ## Skewness -0.141370
33. ## Kurtosis 10.200492
负偏度值确认分布内不对称性的存在。

这给出了密度图。

我们继续提出eGARCH模型作为方差模型（针对条件方差）。更准确地说，我们将使用ARMA（2,2）作为均值模型，指数GARCH（1,1）作为方差模型对ARMA-GARCH进行建模。

在此之前，我们进一步强调ARMA（0,0）在这种情况下不令人满意。ARMA-GARCH：ARMA（0,0）+ eGARCH（1,1）
1. ##
3. ## *---------------------------------*
5. ## * GARCH Model Fit *
7. ## *---------------------------------*
9. ##
11. ## Conditional Variance Dynamics
13. ## -----------------------------------
15. ## GARCH Model : eGARCH(1,1)
17. ## Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
19. ## Distribution : sstd
21. ##
23. ## Optimal Parameters
25. ## ------------------------------------
27. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
29. ## mu 0.000303 0.000117 2.5933 0.009506
31. ## omega -0.291302 0.016580 -17.5699 0.000000
33. ## alpha1 -0.174456 0.013913 -12.5387 0.000000
35. ## beta1 0.969255 0.001770 547.6539 0.000000
37. ## gamma1 0.188918 0.021771 8.6773 0.000000
39. ## skew 0.870191 0.021763 39.9848 0.000000
41. ## shape 6.118380 0.750114 8.1566 0.000000
43. ##
45. ## Robust Standard Errors:
47. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
49. ## mu 0.000303 0.000130 2.3253 0.020055
51. ## omega -0.291302 0.014819 -19.6569 0.000000
53. ## alpha1 -0.174456 0.016852 -10.3524 0.000000
55. ## beta1 0.969255 0.001629 595.0143 0.000000
57. ## gamma1 0.188918 0.031453 6.0063 0.000000
59. ## skew 0.870191 0.022733 38.2783 0.000000
61. ## shape 6.118380 0.834724 7.3298 0.000000
63. ##
65. ## LogLikelihood : 10138.63
67. ##
69. ## Information Criteria
71. ## ------------------------------------
73. ##
75. ## Akaike -6.7119
77. ## Bayes -6.6980
79. ## Shibata -6.7119
81. ## Hannan-Quinn -6.7069
83. ##
85. ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
87. ## ------------------------------------
89. ## statistic p-value
91. ## Lag\[1\] 5.475 0.01929
93. ## Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[2\] 6.011 0.02185
95. ## Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\] 7.712 0.03472
97. ## d.o.f=0
99. ## H0 : No serial correlation
101. ##
103. ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
105. ## ------------------------------------
107. ## statistic p-value
109. ## Lag\[1\] 1.342 0.2467
111. ## Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\] 2.325 0.5438
113. ## Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[9\] 2.971 0.7638
115. ## d.o.f=2
117. ##
119. ## Weighted ARCH LM Tests
121. ## ------------------------------------
123. ## Statistic Shape Scale P-Value
125. ## ARCH Lag\[3\] 0.3229 0.500 2.000 0.5699
127. ## ARCH Lag\[5\] 1.4809 1.440 1.667 0.5973
129. ## ARCH Lag\[7\] 1.6994 2.315 1.543 0.7806
131. ##
133. ## Nyblom stability test
135. ## ------------------------------------
137. ## Joint Statistic: 4.0468
139. ## Individual Statistics:
141. ## mu 0.2156
143. ## omega 1.0830
145. ## alpha1 0.5748
147. ## beta1 0.8663
149. ## gamma1 0.3994
151. ## skew 0.1044
153. ## shape 0.4940
155. ##
157. ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
159. ## Joint Statistic: 1.69 1.9 2.35
161. ## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
163. ##
165. ## Sign Bias Test
167. ## ------------------------------------
169. ## t-value prob sig
171. ## Sign Bias 1.183 0.23680
173. ## Negative Sign Bias 2.180 0.02932 **
175. ## Positive Sign Bias 1.554 0.12022
177. ## Joint Effect 8.498 0.03677 **
179. ##
181. ##
183. ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
185. ## ------------------------------------
187. ## group statistic p-value(g-1)
189. ## 1 20 37.24 0.00741
191. ## 2 30 42.92 0.04633
193. ## 3 40 52.86 0.06831
195. ## 4 50 65.55 0.05714
197. ##
199. ##
201. ## Elapsed time : 0.6527421
所有系数均具有统计学意义。但是，根据以上报告的p值的标准化残差加权Ljung-Box检验，我们确认该模型无法捕获所有ARCH效果（我们拒绝了残差内无相关性的零假设））。

作为结论，我们通过在下面所示的GARCH拟合中指定ARMA（2,2）作为均值模型来继续进行。

ARMA-GARCH：ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）
1. ##
3. ## *---------------------------------*
5. ## * GARCH Model Fit *
7. ## *---------------------------------*
9. ##
11. ## Conditional Variance Dynamics
13. ## -----------------------------------
15. ## GARCH Model : eGARCH(1,1)
17. ## Mean Model : ARFIMA(2,0,2)
19. ## Distribution : sstd
21. ##
23. ## Optimal Parameters
25. ## ------------------------------------
27. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
29. ## ar1 -0.47642 0.026115 -18.2433 0
31. ## ar2 -0.57465 0.052469 -10.9523 0
33. ## ma1 0.42945 0.025846 16.6157 0
35. ## ma2 0.56258 0.054060 10.4066 0
37. ## omega -0.31340 0.003497 -89.6286 0
39. ## alpha1 -0.17372 0.011642 -14.9222 0
41. ## beta1 0.96598 0.000027 35240.1590 0
43. ## gamma1 0.18937 0.011893 15.9222 0
45. ## skew 0.84959 0.020063 42.3469 0
47. ## shape 5.99161 0.701313 8.5434 0
49. ##
51. ## Robust Standard Errors:
53. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
55. ## ar1 -0.47642 0.007708 -61.8064 0
57. ## ar2 -0.57465 0.018561 -30.9608 0
59. ## ma1 0.42945 0.007927 54.1760 0
61. ## ma2 0.56258 0.017799 31.6074 0
63. ## omega -0.31340 0.003263 -96.0543 0
65. ## alpha1 -0.17372 0.012630 -13.7547 0
67. ## beta1 0.96598 0.000036 26838.0412 0
69. ## gamma1 0.18937 0.013003 14.5631 0
71. ## skew 0.84959 0.020089 42.2911 0
73. ## shape 5.99161 0.707324 8.4708 0
75. ##
77. ## LogLikelihood : 10140.27
79. ##
81. ## Information Criteria
83. ## ------------------------------------
85. ##
87. ## Akaike -6.7110
89. ## Bayes -6.6911
91. ## Shibata -6.7110
93. ## Hannan-Quinn -6.7039
95. ##
97. ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
99. ## ------------------------------------
101. ## statistic p-value
103. ## Lag\[1\] 0.03028 0.8619
105. ## Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[11\] 5.69916 0.6822
107. ## Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[19\] 12.14955 0.1782
109. ## d.o.f=4
111. ## H0 : No serial correlation
113. ##
115. ## Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
117. ## ------------------------------------
119. ## statistic p-value
121. ## Lag\[1\] 1.666 0.1967
123. ## Lag\[2*(p+q)+(p+q)-1\]\[5\] 2.815 0.4418
125. ## Lag\[4*(p+q)+(p+q)-1\]\[9\] 3.457 0.6818
127. ## d.o.f=2
129. ##
131. ## Weighted ARCH LM Tests
133. ## ------------------------------------
135. ## Statistic Shape Scale P-Value
137. ## ARCH Lag\[3\] 0.1796 0.500 2.000 0.6717
139. ## ARCH Lag\[5\] 1.5392 1.440 1.667 0.5821
141. ## ARCH Lag\[7\] 1.6381 2.315 1.543 0.7933
143. ##
145. ## Nyblom stability test
147. ## ------------------------------------
149. ## Joint Statistic: 4.4743
151. ## Individual Statistics:
153. ## ar1 0.07045
155. ## ar2 0.37070
157. ## ma1 0.07702
159. ## ma2 0.39283
161. ## omega 1.00123
163. ## alpha1 0.49520
165. ## beta1 0.79702
167. ## gamma1 0.51601
169. ## skew 0.07163
171. ## shape 0.55625
173. ##
175. ## Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
177. ## Joint Statistic: 2.29 2.54 3.05
179. ## Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
181. ##
183. ## Sign Bias Test
185. ## ------------------------------------
187. ## t-value prob sig
189. ## Sign Bias 0.4723 0.63677
191. ## Negative Sign Bias 1.7969 0.07246 *
193. ## Positive Sign Bias 2.0114 0.04438 **
195. ## Joint Effect 7.7269 0.05201 *
197. ##
199. ##
201. ## Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
203. ## ------------------------------------
205. ## group statistic p-value(g-1)
207. ## 1 20 46.18 0.0004673
209. ## 2 30 47.73 0.0156837
211. ## 3 40 67.07 0.0034331
213. ## 4 50 65.51 0.0574582
215. ##
217. ##
219. ## Elapsed time : 0.93679
所有系数均具有统计学意义。在标准化残差或标准化平方残差内未发现相关性。模型正确捕获所有ARCH效果。然而：

*对于某些模型参数，Nyblom稳定性检验无效假设认为模型参数随时间是恒定的

*正偏差为零的假设在5％的显着性水平上被拒绝；这种检验着重于正面冲击的影响

*拒绝了标准化残差的经验和理论分布相同的Pearson拟合优度检验原假设

_注意_：ARMA（1,2）+ eGARCH（1,1）拟合还提供统计上显着的系数，标准化残差内没有相关性，标准化平方残差内没有相关性，并且正确捕获了所有ARCH效应。但是，偏差检验在5％时不如ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型令人满意。

进一步显示诊断图。

我们用平均模型拟合（红线）和条件波动率（蓝线）显示了原始的对数收益时间序列。
1. p <- addSeries(mean\_model\_fit, col = 'red', on = 1)
3. p <- addSeries(cond_volatility, col = 'blue', on = 1)
5. p
模型方程式

结合ARMA（2,2）和eGARCH模型，我们可以：

yt − ϕ1yt−1 − ϕ2yt−2 = ϕ0 + ut + θ1ut−1 +θ2ut-2ut= σtϵt，ϵt = N（0,1）ln⁡（σt2）=ω+ ∑j = 1q（αjϵt−j2 +γ （ϵt−j–E | ϵt−j |））+ ∑i =1pβiln（σt−12）

使用模型结果系数，结果如下。

yt +0.476 yt-1 +0.575 yt-2 = ut +0.429 ut-1 +0.563 ut-2ut = σtϵt，ϵt = N（0,1）ln⁡（σt2）= -0.313 -0.174ϵt-12 +0.189（ ϵt−1–E | ϵt−1 |））+ 0.966 ln（σt−12）

波动率分析

这是由ARMA（2,2）+ eGARCH（1,1）模型得出的条件波动图。
```
plot(cond_volatility)
```
显示了年条件波动率的线线图。
1. pl <- lapply(2007:2018, function(x) { plot(cond_volatility\[as.character(x)\])
3. pl
显示了按年列出的条件波动率箱图。

2008年之后，日波动率基本趋于下降。在2017年，波动率低于其他任何年。不同的是，与2017年相比，我们在2018年的波动性显着增加。

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本文选自《R语言股票市场指数：ARMA-GARCH模型和对数收益率数据探索性分析》。

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R语言股票市场指数：ARMAGARCH模型和对数收益率数据探索性分析|附代码数据

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获取数据

辅助函数

每日对数收益率探索性分析

基本统计摘要

平均值

中位数

偏度

峰度

箱形图

密度图

shapiro检验

每周对数收益率探索性分析

基本统计摘要

平均值

中位数

偏度

峰度

箱形图

密度图

shapiro检验

QQ图

交易量探索性分析

获取数据

每日量探索性分析

基本统计摘要

平均值

中位数

偏度

峰度

箱形图

密度图

shapiro检验

QQ图

每日交易量对数比率探索性分析

基本统计摘要

平均值

中位数

偏度

峰度

箱形图

密度图

shapiro检验

QQ图

对数收益率GARCH模型

离群值检测

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单位根检验

ARMA模型

ARCH效应检验

条件波动率

eGARCH模型

模型方程式

波动率分析