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原文出处:拓端数据部落公众号
在本笔记本中,我们向读者介绍了基本的随机波动率模型,并通过连续顺序重要性重采样讨论了它们的估计。我们使用收益率数据集来讨论 CSIR 在随机波动率模型估计中的实现和性能。
第一个随机波动率模型
令 yt 为时间 t 的股票收益,σt 为其标准差。考虑以下离散时间随机波动率模型:
zt∼N(0,1) 和 ηt∼N(0,τ2) ,
τ>0 和 |φ1|<1 以确保波动率遵循平稳过程。直观地说,波动过程被建模为一个潜在过程,其中 log(σ2t) 遵循 AR(1) 过程。在下一个块中,我们模拟了这个过程。在笔记本上,我们将继续处理这些模拟数据。为简洁起见,我们定义 αt=log(σ2t) 和 θ=(ϕ0,ϕ1,τ) 为参数向量。
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## ##我们模拟数据。
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##我们设定pi_0 = 0.05, pi = 0.98, tau = 0.02
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##模拟数据的函数
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#Input 2: T - 时间序列的大小
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#Ouput: retF - 模拟的收益率(y)和波动率(alpha)。
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pi <- thta[2] # 自相关系数 phi
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tu2 <- heta[3] # 具有tau2方差的正常误差
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eta <- rorm(T, 0, sqrt(tau2)) # AR(1)波动率模型的误差
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z <- rnrm(T, 0, 1) # 倍增项回报模型
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alha[1] <- cost # 在开始阶段没有自相关的观察值
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# 仿真时间序列
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smdf <- s_sm(theta, T)
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y <- smdf$y
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lpa <- smdf$apha
隐马尔可夫模型:定义
上面显示的模型属于更一般的隐马尔可夫模型类。设 h(αt|αt-1;θ) 为跃迁密度,g(yt|αt;θ) 为测量密度。那么在这种情况下,跃迁密度和测量密度都是高斯的,其中 和 .
序列蒙特卡罗
对于估计,我们使用序列蒙特卡罗,通过生成 P 随机抽取,称为“粒子”,以近似预测和过滤密度。虽然有很多变体,但我们只讨论(连续)序列重要性重采样(SIR)。
SIR有两个步骤,预测和过滤步骤。
预测步骤 如下:
- 输入:粒子 从 ;
- 输出:对于每个粒子 利用跃迁密度对系统进行传播,得到一个新的预测粒子,即
具有连续序列重要性重采样的过滤步骤:算法
连续序列重要性重采样(CSIR) 是 SIR 的一种变体,它提供了过滤粒子的连续版本。该方法的主要优点是它确保模拟似然相对于参数 θ 的向量是“平滑的”,以便能够使用基于梯度的优化方法进行优化。
使用 CSIR 的过滤步骤的算法如下:
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输入:
- 具有条目 u(j) 的排序均匀随机采样向量(拒绝采样);
- 对于定义为 W(i)t 的每个粒子 α(i)t 在 yt 处评估的正态 PDF;
- 从预测密度 α(i)t 中排序。
代码
下面我们生成粒子集,并使用 SIR 近似过滤和预测密度。在第一个图中,我们显示了预测密度平均值及其 95 和 5 分位数。在同一个图中,我们还绘制了波动率的真实值。在第二个图中,我们绘制了过滤密度的热图。黑线是真正的波动率。
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# --> (原始)序列重要性取样算法:过滤步骤
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# 输入 1: appr - 预测密度
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# 输入 2: aha_t - 在 y[t]评估的正态 pdf
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# 输入 3: u - 排序均匀的随机采样向量(拒绝采样)
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# 输出:alphp - 粒子过滤
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# 排序和加权的速度减慢
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alhawt <- alph_wt/sum(alpha_wt)
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alpa_rt <- cbind(seq(1,P,1),alpha_pr)
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alhapr_id <- lpha_sort[order(alha_r[,2]),]。
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alhapr <- alpha_ridx[,2]
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alph_ix <- alha_p_idx[,1]
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alha_wt <- alp_w[alpha_idx]
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alhacwt <- c(0, cumsum(alpha_wt))
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j <- 1
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for (i in 1:P)
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while((aphawt[i] < u[j]) && (u[j] <= alpawt[i+1])){
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lp_up[j] <- alpa_r[i] 。
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}
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# ----------------------------------------------------------------------
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# 设置粒子过滤
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# ----------------------------------------------------------------------
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P <- 200 # 设置粒子的数量
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lph_up <- rnorm(P,0,0.1)
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alpar <- rep(0,P)
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aha_w <- rep(1,P)/P
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alphup_mt <- matrix(rep(0,T*3),T)
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ala_pmat <- matrix(rep(0, T*3),T)
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ah_prare <- matrix(rep(0, T*20),T)
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# 从一个近似值中生成一个由P个随机抽样组成的粒子集
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# 每个时间序列点的预测和过滤分布的近似值
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for (t in 1:T){
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# 预测步骤
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appr <- nst + phi * alpp + rnorm(P,0,srt(tau2))
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# 更新/过滤步骤(态密度)
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ahat <- dnorm(y[t]*rep1,P), mean=0 , sd = exp(phar/2)
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alpap <- sir(alhapr=aph_r,alhawt=alpa_t, u=sort(runif(P,0,1))
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# 绘制预测密度图
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plot(sqrt(252) * exp(alpha/2), type='l')
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## 筛选密度热图
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het <- matrix(rep(1,T*20), T, 20)
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plot(NULL, xlim = c(1, T), ylim = c(0, 160), main="过滤密度热图",
在下一部分中,我们提供了 CSIR 的 R 和 C 版本。R 版本仅出于代码可读性的目的而提供。
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###连续序列重要性重取样:过滤步骤
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# 输入 1: alppr - 预测密度
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# 输入 2: alhawt - 在 y[t]处评估的正态 pdf
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# 输入 3: u - 排序均匀的随机采样向量(拒绝采样)
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# 输出:ala_up - 粒子过滤(连续版本)。
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# R版本(性能较慢)
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cir <- function(aph_r, phwt, u) {
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P <- length(aphpr)
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al_p <- rep(0,P)
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# 排序和加权的速度减慢
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alpha_wt <- alpha_wt/sum(alpha_wt)
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j <- 1
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for (i in 1:P){
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while((a_ct[i] < u[j]) & (u[j] <= alhwt[i+1])){
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alh_u[j] <- aph_pr[i] + ((apapr[i+1]-alar[i])/(ala_ct[i+1]-alpha_cwt[i]) * (u[j]-ala_wt[i])
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}
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csir.c <- function(alppr, aht, u) {
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P <- length(alpap)
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ala_u <- rep(0,P)
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.C("cir", alpup=as.dole(aphup),
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alha_pr=as.double(aha_r),
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alh_wt=as.doublephawt),
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u=as.double(u),
我们现在提供用于最大化对数似然和估计参数 θ 的代码。为了计算标准误差,我们使用在 MLE 评估的对数似然的 Hessian 矩阵的逆矩阵的对角线。
我们现在可以转到参数 θ 的估计。使用 C 中的函数进行估计。
vas <- sfit(y, c(0.5,0.5,0.5), P, 1)
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## 显示结果
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matrix <- cbind(heta_mle
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,eta_se)
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矩阵
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