随机搜索变量选择SSVS估计贝叶斯向量自回归（BVAR）模型

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介绍

向量自回归（VAR）模型的一般缺点是，估计系数的数量与滞后的数量成比例地增加。因此，随着滞后次数的增加，每个参数可用的信息较少。在贝叶斯VAR文献中，减轻这种所谓的维数诅咒的一种方法是随机搜索变量选择（SSVS），由George等人提出（2008）。SSVS的基本思想是将通常使用的先验方差分配给应包含在模型中的参数，将不相关参数的先验方差接近零。这样，通常就可以估算出相关参数，并且无关变量的后验值接近于零，因此它们对预测和冲激响应没有显着影响。这是通过在模型之前添加层次结构来实现的，其中在采样算法的每个步骤中评估变量的相关性。

这篇文章介绍了使用SSVS估计贝叶斯向量自回归（BVAR）模型。它使用Lütkepohl（2007）的数据集E1，其中包含有关1960Q1至1982Q4十亿德国马克的西德固定投资，可支配收入和消费支出的数据。加载数据并生成数据：

library(bvartools) # install.packages("bvartools")

# Load and transform data
data("e1")
e1 <- diff(log(e1))

# Generate VAR
data <- gen_var(e1, p = 4, deterministic = "const")

# Get data matrices
y <- data$Y[, 1:71]
x <- data$Z[, 1:71]

估算值

根据George等人所述的半自动方法来设置参数的先验方差（2008）。对于所有变量，先验包含概率设置为0.5。误差方差-协方差矩阵的先验信息不足。

# Reset random number generator for reproducibility
set.seed(1234567)

t <- ncol(y) # Number of observations
k <- nrow(y) # Number of endogenous variables
m <- k * nrow(x) # Number of estimated coefficients

# Coefficient priors
a_mu_prior <- matrix(0, m) # Vector of prior means

# SSVS priors (semiautomatic approach)
ols <- tcrossprod(y, x) %*% solve(tcrossprod(x)) # OLS estimates
sigma_ols <- tcrossprod(y - ols %*% x) / (t - nrow(x)) # OLS error covariance matrix
cov_ols <- kronecker(solve(tcrossprod(x)), sigma_ols)
se_ols <- matrix(sqrt(diag(cov_ols))) # OLS standard errors

tau0 <- se_ols * 0.1 # Prior if excluded
tau1 <- se_ols * 10 # Prior if included

# Prior for inclusion parameter
prob_prior <- matrix(0.5, m)

# Prior for variance-covariance matrix
u_sigma_df_prior <- 0 # Prior degrees of freedom
u_sigma_scale_prior <- diag(0, k) # Prior covariance matrix
u_sigma_df_post <- t + u_sigma_df_prior # Posterior degrees of freedom

初始参数值设置为零，这意味着在Gibbs采样器的第一步中应相对自由地估算所有参数。

可以直接将SSVS添加到VAR模型的标准Gibbs采样器算法中。在此示例中，常数项从SSVS中排除，这可以通过指定来实现include = 1:36。

具有SSVS的Gibbs采样器的输出可以用通常的方式进一步分析。因此，可以通过计算参数的绘制方式获得点估计：

##          invest income   cons
## invest.1 -0.102  0.011 -0.002
## income.1  0.044 -0.031  0.168
## cons.1    0.074  0.140 -0.287
## invest.2 -0.013  0.002  0.004
## income.2  0.015  0.004  0.315
## cons.2    0.027 -0.001  0.006
## invest.3  0.033  0.000  0.000
## income.3 -0.008  0.021  0.013
## cons.3   -0.043  0.007  0.019
## invest.4  0.250  0.001 -0.005
## income.4 -0.064 -0.010  0.025
## cons.4   -0.023  0.001  0.000
## const     0.014  0.017  0.014

还可以通过计算变量的均值来获得每个变量的后验概率。从下面的输出中可以看出，在VAR（4）模型中似乎只有几个变量是相关的。常数项的概率为100％，因为它们已从SSVS中排除。

##          invest income cons
## invest.1   0.43   0.23 0.10
## income.1   0.10   0.18 0.67
## cons.1     0.11   0.40 0.77
## invest.2   0.11   0.09 0.14
## income.2   0.08   0.07 0.98
## cons.2     0.07   0.06 0.08
## invest.3   0.19   0.07 0.06
## income.3   0.06   0.13 0.10
## cons.3     0.09   0.07 0.12
## invest.4   0.78   0.09 0.16
## income.4   0.13   0.09 0.18
## cons.4     0.09   0.07 0.06
## const      1.00   1.00 1.00

给定这些值，研究人员可以按照常规方式进行操作，并根据Gibbs采样器的输出获得预测和脉冲响应。这种方法的优势在于它不仅考虑了参数不确定性，而且还考虑了模型不确定性。这可以通过系数的直方图来说明，该直方图描述了收入的第一个滞后项与消费当前值之间的关系。

hist(draws_a[6,], main = "Consumption ~ First lag of income", xlab = "Value of posterior draw")

​

通过两个峰描述模型不确定性，并通过右峰在它们周围的散布来描述参数不确定性。

但是，如果研究人员不希望使用模型，变量的相关性可能会从采样算法的一个步骤更改为另一个步骤，那么另一种方法将是仅使用高概率的模型。这可以通过进一步的模拟来完成，在该模拟中，对于不相关的变量使用非常严格的先验，而对于相关参数则使用没有信息的先验。

后方抽取的均值类似于Lütkepohl（2007，5.2.10节）中的OLS估计值：

##          invest income   cons
## invest.1 -0.219  0.001 -0.001
## income.1  0.000  0.000  0.262
## cons.1    0.000  0.238 -0.334
## invest.2  0.000  0.000  0.001
## income.2  0.000  0.000  0.329
## cons.2    0.000  0.000  0.000
## invest.3  0.000  0.000  0.000
## income.3  0.000  0.000  0.000
## cons.3    0.000  0.000  0.000
## invest.4  0.328  0.000 -0.001
## income.4  0.000  0.000  0.000
## cons.4    0.000  0.000  0.000
## const     0.015  0.015  0.014

评价

bvar功能可用于将Gibbs采样器的相关输出收集到标准化对象中，例如predict获得预测或irf进行脉冲响应分析。

bvar_est <- thin(bvar_est, thin = 5)

预测

可以使用函数获得可信区间的预测predict。

plot(bvar_pred)

​

脉冲响应分析

plot(OIR, main = "Orthogonalised Impulse Response", xlab = "Period", ylab = "Response")

​

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