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copula是将多变量分布函数与其边际分布函数耦合的函数，通常称为边缘或简单的边缘。Copula是建模和模拟相关随机变量的绝佳工具。
Copula的主要吸引力在于，通过使用它们，您可以分别对相关结构和边缘（即每个随机变量的分布）进行建模。 例如，在R中，很容易从多元正态分布中生成随机样本，但是对于分别其边缘分别为Beta，Gamma和Student的分布来说，这样做并不容易。
copulas如何工作
但首先，让我们试着了解copula的实际工作方式。
set.seed（100）
m < - 3
n < - 2000
z < - mvrnorm（n，mu = rep（0，m），Sigma = sigma，empirical = T）
现在我们使用cor()和配对图检查样本相关性。
pairs.panels（Z）
[，1] [，2] [，3]
[1，] 1.0000000 0.3812244 0.1937548
[2，] 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
[3，] 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
pairs.panels（U）
这是包含在中的新随机变量的配对图u。
我们可以绘制矢量的漂亮3D表示u。
现在，作为最后一步，我们只需要选择边距并应用它们u。我选择了边缘为Gamma，Beta和Student，并使用下面指定的参数进行分配。
x1 < - qgamma（u [，1]，shape = 2，scale = 1）
x2 < - qbeta（u [，2]，2,2）
x3 < - qt（u [，3]，df = 5）
下面是我们模拟数据的3D图。
df < - cbind（x1，x2，x3）
pairs.panels（DF）
x1 x2 x3
x1 1.0000000 0.3812244 0.1937548
x2 0.3812244 1.0000000 -0.7890814
x3 0.1937548 -0.7890814 1.0000000
这是随机变量的配对图：
使用copula
让我们使用copula复制上面的过程。
set.seed（100）
myCop < - （param = c（0.4,0.2，-0.8），dim = 3，dispstr =“un”）
myMvd < - （copula = myCop，margin = c（“gamma”，“beta”，“t”）
）
现在我们已经通过copula（普通copula）指定了依赖结构并设置了边缘，该mvdc()函数生成了所需的分布。然后我们可以使用该rmvdc()函数生成随机样本。
colnames（Z2）< - c（“x1”，“x2”，“x3”）
pairs.panels（Z2）
模拟数据当然非常接近之前模拟的数据，并显示在下面的配对图中：
一个简单的应用示例
现在为现实世界的例子。我们将拟合两个股票 ，并尝试使用copula模拟 。
让我们在R中加载
cree < - read.csv（'cree_r.csv'，header = F）$ V2
yahoo < - read.csv（'yahoo_r.csv'，header = F）$ V2
在直接进入copula拟合过程之前，让我们检查两个股票收益之间的相关性并绘制回归线：
我们可以看到 正相关 ：
在上面的第一个例子中，我选择了一个普通的copula模型而没有太多思考，但是，当将这些模型应用于实际数据时，应该仔细考虑哪些更适合数据。例如，许多copula更适合建模非对称相关，其他强调尾部相关性等等。我对股票回报的猜测是，t-copula应该没问题，但是猜测肯定是不够的。幸运的是，该软件包提供了一个很好的功能，告诉我们应该使用什么copula。本质上，允许我们通过函数使用BIC和AIC执行copula选择
pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））[，1]
selectedCopula
$ PAR
[1] 0.4356302
$ PAR2
[1] 3.844534
拟合算法确实选择了t-copula（在$family参考中编码为2 ）并为我们估计了参数。
让我们尝试使用copula包装拟合建议的模型，并仔细检查参数拟合。
t.cop
set.seed（500）
m < - pobs（as.matrix（cbind（cree，yahoo）））
COEF（FIT）
rho.1 df
0.43563 3.84453
我们来看看我们刚估计的copula的密度
rho < - coef（fit）[1]
df < - coef（fit）[2]
现在我们只需要建立Copula并从中抽取3965个随机样本。
rCopula（3965，tCopula（ = 2， ，df = df））
[，1] [，2]
[1，] 1.0000000 0.3972454
[2，] 0.3972454 1.0000000
这是载体中包含的样本的图u：
t-copula强调极端结果：它通常适用于在极值（分布的尾部）中存在高度相关性的建模现象。
现在我们正面临着困难：对边缘进行建模。为简单起见，我们将假设正态分布 。因此，我们估计边际的参数
cree_mu < - mean（cree）
cree_sd < - sd（cree）
让我们根据直方图绘制配件，以便直观地了解我们正在做的事情：
hist（cree，breaks = 80，main ='Cree returns'，freq = F，density = 30，col
hist（yahoo，breaks = 80，main ='Yahoo returns'，density = 30，col ='cyan'，freq = F，ylim = c（0,20），xlim = c（-0.2,0.2））
两个直方图显示如下
现在我们在函数中应用copula， ()然后用于 ()从生成的多变量分布中获取模拟观测值。最后，我们将模拟结果与原始数据进行比较。
copula_dist < - （copula = tCopula（rho，dim = 2，df = df
list（mean = yahoo_mu，sd = yahoo_sd）））
sim < - rmvdc（copula_dist，3965）
这是在假设正常边缘和依赖结构的t-copula的情况下数据的最终散点图：
正如您所看到的，t-copula导致结果接近实际观察结果 。
让我们尝试df=1和df=8
set.seed（4258）
copula_dist < - mvdc（copula = tCopula（rho，dim = 2，df = 1），margin = c（“norm”，“norm”），
paramMargins = list（list（mean = cree_mu，sd = cree_sd），
copula_dist < - mvdc（copula = tCopula（rho，dim = 2，df = 8），margin = c（“norm”，“norm”），
paramMargins = list（list（mean = cree_mu，sd = cree_sd），
list（mean = yahoo_mu，sd = yahoo_sd）））
sim < - rmvdc（copula_dist，3965）
[1] 0.3929509
[1] 0.3911127
显然，该参数df对于确定分布的形状非常重要。随着df增加，t-copula倾向于高斯copula。
