传纸条 题解

传纸条

时间限制：1秒 内存限制：128M

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。 还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入描述

第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1≤m,n≤50） 接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。  

输出描述

共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值  

样例

输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出

34

提示

【限制】

30%的数据满足：1≤m,n≤10

100%的数据满足：1≤m,n≤50

今天为大家带来一个多维dp题--------传纸条。读完题后便可明白此题可用四维或三维数组存储，小编讲一下用四维数组存储的简单思路（其实三维数组更好，毕竟时间、空间越小越好嘛，多维dp又是一个“双响炮”）。由于要传两次，单纯按题目模拟来回传纸条过于麻烦，便可以将问题简化为由小渊传出的两条终点为小轩且不相交的线所经过的好感度最大值。即为利用f这个四维数组记录下以其为终点时路径好感度的最大值，利用i,j,k,z四个循环控制变量来规划出线下一步可经过的最大好感度同学，并将其最大值累加进f[i][j][k][z]里（i模拟第一条线经过点的横坐标，j模拟第一条线经过点的纵坐标，k模拟第二条线经过点的横坐标，z模拟第二条线经过点的纵坐标）。

刚才小编也标红了，在问题中最难搞定的其实是如何使两条线不相交呢？小编提供一种思路：当（i==k&&j==z）即第一条线规划的点与第二条线规划的点坐标完全相同时（同时表示两条线相交，一位同学传了两次），便可直接跳过进入下一次循环规划。

这是一种很巧妙地解法，可也同时带来了一个问题：如果按此方法来避免一个同学传两次的错误，输出时便会也同样跳过规划，则需输出的最终结果f[m][n][m][n]值为初始值0。（初始值请见:小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示）。（因为两条直线必相交于终点，即小轩所在的点上。）故需想方法避免此问题的出现。此时不妨将规划后退一步，推演到本应赋值最终解的语句上，即其正上方的点与其左边的点，即点a[m][n-1]与a[m-1][n]。则输出他们两点相加的最大好感值和与终点好感度的值相加即可（终点好感度的值为0，加不加都无所谓。）表达式为数组：f[m][n-1][m-1][n]的值即为正解。

讲了这么多，附上AC代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,i,j,a[51][51],k,z;
int f[55][55][55][55];//定义四维数组，用于存储两条线好感度的最大值
int main()
{
cin>>m>>n;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
cin>>a[i][j];
}
}//简单的输入
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
for(k=1;k<=m;k++)
{
for(z=1;z<=n;z++)
{//四层循环，很无奈啊
if(i==k&&j==z)
{
continue;
}//判断两线相交，排除错误。如相交，直接跳出，进入下一次循环规划
f[i][j][k][z]=max(f[i][j][k][z],f[i][j-1][k-1][z]);
f[i][j][k][z]=max(f[i][j][k][z],f[i][j-1][k][z-1]);
f[i][j][k][z]=max(f[i][j][k][z],f[i-1][j][k-1][z]);
f[i][j][k][z]=max(f[i][j][k][z],f[i-1][j][k][z-1]);//取两线上的点，判断其左方及正上方的点谁为最大
f[i][j][k][z]+=a[i][j]+a[k][z]；//将最大值累加入f[i][j][k][z]之中
}
}
}
}
cout<<f[m][n-1][m-1][n];//输出，输出到达终点时两线最大好感度值的和（原因请看上面的讲解）
return 0;//完美结束
}