[Problem 14]欧拉

几点：

1. 在问题规模大的时候，一定要检查选择的数据类型是否够用，会不会overflow。这里的case就是一个很好的例子。我的算法几分钟就写好了，也蛮正确的，除了对于start num i及chain中的number n的数据类型选择了int，这就导致在n被3n+1反复搞大后，超出了int的范围，变成了负数，也就进入了导致算不出结果来的死循环里（因为永远也算不到1了）。所以，切记：问题规模大的时候，一定仔细考虑清楚数据类型的选择。

2. unsigned int的数据参与大规模运算要比long long快3倍以上。这里指的是仅仅替换i和n的数据类型。

3. 在看到更多规律的基础上，我加了个map来试图减少一些运算，结果：在题目要求的1million的问题规模下，配合unsigned int的正确类型，算不出；在调整到1000以验证算法正确性的实验中，还是发现：使用map后，由于要多做很多排序和查找的工作，虽然节省了一些直接的chain中number的计算，但最终时间统计显示还是比不用map要慢。所以，在你确定要使用map时，务必考虑清楚你增加的运算和减少的运算之间的关系，不见得能改善多少算法性能，而且还容易产生副作用。算法时间复杂度的本质在于：其需要执行的基本运算的次数的多少。

4. oh,my!我终于意识到：位操作要比乘除运算高效的多！在算法中，用n&1替换n%2来判断奇数偶数，时间花费从3秒多减少到了1秒左右！这个例子，我印象很深刻，非常有意义的实验。感谢problem 14 answer thread里的兄弟的启发。

下面附上代码：

#include <iostream>
#include <map>
#include <ctime>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    clock_t startT = clock();
    int maxNum = 10; // initialized with starting number 13's chain length.
    unsigned int theStartNum = 13;    
    unsigned int n  = 0; // Be exact to choose its data type.
    for(unsigned int i = 14; i < 1000000; i++)
    {
        n = i;
        int tempNum = 0;
        while(true) // to calculate tempNum.
        {            
            // if(n%2) // odd. Using this, whole algorithm cost >3s.
            if(n&1) // using this, cost 1s or so.
            {
                n = 3*n + 1 ;
            }
            else // even.                
            {
                if(n == 16) // minor optimization.
                {
                    tempNum += 4;
                    break;
                }
                else
                    n /= 2;
            }

            tempNum++;
            if(n == 1)
                break;            
        }

        if(maxNum < tempNum)
        {
            maxNum = tempNum;
            theStartNum = i;
        }
    }

    clock_t endT = clock();
    double spentT = difftime(endT, startT);
    cout << "theNum is: " << theStartNum << endl;
    cout << "theChain: " << maxNum << endl;
    cout << "spentT:" << spentT << endl;

    return 0;
}