卡特兰数问题

今天看到去年的微软笔试题其中有一道是，进栈出栈的题目，给定1,2，。。。n共n个数，问有多少种不同的出栈次序？

我的第一直觉就是这个东西很熟悉，应该是卡特兰数问题，当然事实上也是如此，下面是更严密的分析：

将每个数的进栈操作标记为状态‘1’，出栈操作标记为状态‘-1’，对于栈来讲，肯定是进栈的次数大于等于出栈的次数(因为不可能还没进去呢就能出来)

于是，就是状态序列中1的个数大于-1的个数的问题，这正是卡特兰数问题，也就是任何时刻所有状态序列中所有标记之和都要大于等于0。

题目一下子变得很简单，结果就是C(2n,n)/(n+1).

下面给出卡特兰数的定义：

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：

　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

　　另类递归式：

　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　该递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

其实卡特兰数是非常有用的一个东西，而且非常有意思，下面举几个常见的例子：

1、给定节点组成二叉树个数有多少？

分析：

当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;

当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

 当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

2、矩阵链乘法问题(加括号问题)（此处只求种类树，不是求最优问题）

分析：给定n个矩阵{A1,A2,...An},其中Ai与Ai+1是可乘的，考查这n个矩阵的乘积A1A2...An，使得所需的数乘次数最少。

设n个矩阵的连乘有不同的计算次序P(n)，可以先在第k个和第k+1个矩阵之间讲原矩阵分为两个矩阵子序列，k=1,2,...n-1。然后分别对这两个矩阵子序列完全加括号；

最后对所得的结果加括号，得到原矩阵序列的一个完全加括号，得递归式

n=1 时 P(n)=1;

n>1 时 P(n)=∑ _{k=1~n-1^{(P(k)*P(n-k));}}

P(n)就是卡特兰数这么多种计算次序，如果用穷举法查找数乘次数最小需要P(n)次运算，因此该问题可以用动态规划来求解(这不是本文要叙述的重点)

3、凸多边形三角划分问题(最优解用到动态规划算法，此处只求划分种树)

分析：

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。

比如当n=6时，f（6）=14。

 

如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

 

总而言之，卡特兰数非常有用。