N的阶乘中末尾有几个0

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N的阶乘中末尾有几个0  

N的阶乘中末尾有几个0：
如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。

int count(int k)
{
     int sum=0;
     while(k!=0)
     {
         k=k/5;
         sum+=k;
      }
      return sum;
}

int main()
{
     int n,i,j,x,k;
     scanf("%d",&n);
     for(i=0;i<n;i++)
     {
        scanf("%d",&x);
          j=count(x);
         printf("%d\n",j);
    }
    return 0;
}
 

 


 

问题描述

    给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。 
    例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。 
  

计算公式

    这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。 
    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有： 
      当0 < n < 5时，f(n!) = 0; 
      当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。 
  

问题分析

    显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。 
  
    我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。 
  
    我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论： 
    结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。 
    下面对这个结论进行证明： 
    (1)当n < 5时, 结论显然成立。 
    (2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。 
    对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。 
    我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。 
     
    上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。 
  
    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有： 
       f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!) 
所以，最终的计算公式为： 
    当0 < n < 5时，f(n!) = 0; 
    当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。 
  

计算举例

   f(5!) = 1 + f(1!) = 1 
   f(10!) = 2 + f(2!) = 2 
   f(20!) = 4 + f(4!) = 4 
   f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24 
   f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249 

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