• [专题-数论]数论基础


    数论大礼包:
    [NWPU][2018暑假集训]day10&11 素数+GCD
    [NWPU][2018暑假集训]day10&11 逆元+快速幂
    [NWPU][2018暑假集训]day10&11 同余+欧拉函数
    [NWPU][2018暑假集训]day10&11 勾股数+佩尔方程

    模版

    求乘法逆元

    扩展欧几里德求逆元 O(logn)
    原理即ax+by=c两边膜b,得ax=c(mod b),利用扩欧求解即可

    int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
        if (b==0){x=1; y=0; return a;}
        int gcd=exgcd(b, a%b, y, x);
        y-=(a/b)*x;
        return gcd;
    }
    
    int inv(int a, int p){
        int x, y, gcd=exgcd(a, p, x, y);
        if (gcd==1) return (x%p+p)%p;
        return -1;
    }
    

    求逆元表 O(n)
    对于不能求逆元的情况(A/B)%mod = (A%(B*mod))/B%mod

    long long inv[mod];
    void init(void){
    	inv[1]=1;
    	for (int i=2; i<mod; i++)
    		inv[i]=(long long)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }
    

    筛法求素数

    埃氏筛 O(nlog(logn))

    const int maxn=1e7, maxp=7e5;
    int primes[maxp+5], psize;
    bool isprime[maxn+5];
    
    void initPrime(void){
        memset(isprime, true, sizeof(isprime));
        for (int i=2; i<=maxn; i++) if (isprime[i]){
            for (int j=i*2; j<=maxn; j+=i)
                isprime[j]=false;
            primes[psize++]=i;
        }
    }
    

    欧拉筛 O(n)

    const int maxn=1e5+20;
    int primes[maxn/10], psize;
    bool isprime[maxn];
    void initPrimes(void){
        memset(isprime, true, sizeof(isprime));
        isprime[0]=isprime[1]=false;
        for (int i=2; i<=maxn; i++){
            if(isprime[i]) primes[psize++]=i;
            for (int j=0; j<psize && i*primes[j]<=maxn; j++){
                isprime[primes[j]*i]=false;
                if (i%primes[j]==0) break;
            }
        }
    }
    

    质因数分解(唯一分解定理)

    利用素数表 O(sqrt(n)/logn) + O(n)
    注意maxn可为需分解的最大数的开方

    const int maxn=1e5+20;
    int factors[100][2], fsize, primes[maxn/10], psize;
    void getFactors(long long n){
        fsize=0;
        for (int i=0; i<psize && primes[i]<=n/primes[i]; i++){
            if (n%primes[i]==0){
                factors[fsize][0]=primes[i];
                factors[fsize][1]=0;
                while (n%primes[i]==0) factors[fsize][1]++, n/=primes[i];
                fsize++;
            }
        }
        if (n>1){
            factors[fsize][0]=n;
            factors[fsize++][1]=1;
        }
    }
    

    不用素数表 O(sqrt(n))

    int factors[100][2], fsize;
    void getFactors(long long n){
        fsize=0;
        for (int i=2; i<=n/i; i++){
            if (n%i==0){
                factors[fsize][0]=i;
                factors[fsize][1]=0;
                while (n%i==0) factors[fsize][1]++, n/=i
                fsize++;
            }
        }
        if (n>1){
            factors[fsize][0]=n;
            factors[fsize++][1]=1;
        }
    }
    

    最大公因数&最小公倍数

    // gcd(a, b, c)==gcd(gcd(a, b), c)
    // lcm(a, b, c)==lcm(lcm(a, b), c)
    long long gcd(long long a, long long b){
        return (b==0)?a:gcd(b, a%b);
    }
    
    long long lcm(long long a, long long b){
        return a/gcd(a, b)*b;
    }
    
    long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y){
        if (b==0){x=1; y=0; return a;}
        long long gcd=exgcd(b, a%b, y, x);
        y-=(a/b)*x;
        return gcd;
    }
    

    分块打表

    例:求1~n的调和级数(LightOJ-1234)

    const int maxn=1e6;
    double h[maxn+5];
    void init(void){
        h[0]=h[1]=0;
        for (int i=1, ptr=1; i<=1e8; i++){
            if (i%100==0) {ptr++; h[ptr]=h[ptr-1];}
            h[ptr]+=1/(double)i;
        }
    }
    
    double calc(int n){
        double sum=0;
        for (int i=(n/100)*100; i<=n; i++)
            if (i!=0) sum+=1/(double)i;
        return sum+h[n/100];
    }
    

    快速幂

    这里贴快速幂的原因是某些数太大,直接快速幂容易long long溢出

    long long quickMult(long long a, long long n, long long mod){
        long long ans=0, tmp=a;
        for (int i=0; (1<<i)<=n; i++){
            if ((1<<i)&n) ans=(ans+tmp)%mod;
            tmp=(long long)(tmp+tmp)%mod;
        }return ans;    
    }
    
    long long quickPow(long long a, long long n, long long mod){
        int ans=1, tmp=a;
        for (int i=0; (1<<i)<=n; i++){
            if ((1<<i)&n) ans=quickMult(ans, tmp)%mod;
            tmp=quickMult(tmp, tmp)%mod;
        }return ans;
    }
    

    矩阵快速幂

    const int maxn=20;
    const long long mod=1000000007;
    struct Matrix{
        int r, c;
        long long mat[maxn][maxn];
        Matrix(int r, int c):r(r), c(c) {}
        void clear(void){memset(mat, 0, sizeof(mat));}
    };
    
    Matrix operator + (Matrix a, Matrix b){
        Matrix s(a.r, a.c);
        for(int i = 0; i < a.r; i++)
            for(int j = 0; j < a.c; j++)
                s.mat[i][j]=(a.mat[i][j]+b.mat[i][j])%mod;
        return s;
    }
    
    Matrix operator * (Matrix a, Matrix b){
        Matrix s(a.r, b.c);
        for(int i = 0; i < a.r; i++)
            for(int k = 0; k < a.c; k++)
                for(int j = 0; j < b.c; j++)
                    s.mat[i][j]=(s.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%mod;
        return s;
    }
    
    Matrix pow(Matrix a, long long n){
        Matrix ret(a.r, a.c), tmp(a);
        for(int i = 0; i < a.r; i++)
            ret.mat[i][i]=1;
        while(n){
            if(n&1) ret=ret*tmp;
            tmp=tmp*tmp;
            n>>=1;
        }return ret;
    }
    

    同余方程

    解一元线性同余方程

    // 求ax=b (mod m)最小解
    long long solve(long long a, long long b, long long m){
        long long x, y, gcd=exgcd(a, m, x, y);
        if(b % d == 0) {
            x = x * (b /gcd);
            x = (x%(m/gcd) + (m/gcd)) % (m/gcd);
            return x;
        }
        return -1;
    }
    

    迭代法解同余方程组
    为什么不用中国剩余定理?迭代法不要求互素

    long long a[maxn], m[maxn];
    bool solve(long long &m0, long long &a0, int n){
        m0 = 1; a0 = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            long long t, s, t0;
            long long d = exgcd(m0, m[i], t, s);
            if((a[i] - a0) % d != 0) return false;
            t *= (a[i] - a0) / d;
            t0 = (t % (m[i] / d) + (m[i] / d)) % (m[i] / d);
            a0 += m0 * t0;
            m0 *= (m[i] / d);
            a0 %= m0;
        }
        return true;
    }
    

    欧拉函数

    费马小定理
    p为素数,则a^p=a (mod p)
    若a, p互素,则a^(p-1)=1 (mod p)

    欧拉定理
    任意正整数n,a^(phi(n)+1)=a (mod n)
    若a, n互素,a^phi(n)=1 (mod n)
    欧拉函数、莫比乌斯函数是积性函数( f(nm)=f(n)*f(m) )

    应用
    求逆元:a,n互素时,inv(a, p)==a^(phi(n)-1)
    降幂:当b>phi(n)时(即指数超大),a^b=a^( b%phi(n)+phi(n) ) (mod n)注意a, n不需要互素

    分解质因数方法 O(sqrt(n))

    long long eular(long long n) {
        getFactors(n);
        long long ret = n;
        for(int i=0; i<cnt; i++)
            ret=ret/factor[i][0]*(factor[i][0]-1);
        return ret;
    }
    

    筛法

    const int maxn=1e6;
    int phi[maxn+5];
    long long sum[maxn+5];
    void initPhi(void){
        memset(phi, 0, sizeof(phi));
        phi[1]=1;
        for (int i=2; i<=maxn; i++) if (!phi[i])
            for (int j=i; j<=maxn; j+=i){
                if (!phi[j]) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
    }
    

    非线性丢番图方程

    毕达哥拉斯三元组
    x^2+y^2=z^2
    当gcd(x, y, z)=1时,称此三元组是本原的
    存在互素且奇偶性不同的正整数n, m
    x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2

    费马大定理
    x^n+y^n=z^n在n>2时无非零整数解

    佩尔方程
    x^2-Dy^2=1
    最小整数解,D<30时暴力枚举
    递推法求通解

    对于 x2 - Dy2 = M,其中 M = ±1, ±2, ±4,若方程存在基本解 (x1, y1),则有
    xn = C(xn-1 - xn-2) + xn-3,
    yn = C(yn-1 - yn-2) + yn-3,
    当 M 为 1, 2, 4, -1, -2, -4 时,
    C 分别为 2x1+1, 2x12-1, x1+1, 4x12+3, 2x12+3, x12+3,
    
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