数据结构和算法 – 12.高级查找算法（上）

一、顺序查找

顺序查找（Sequential Search）又叫线性查找，是最基本的查找技术，它的查找过程是：从表中第一个（或最后一个）记录开始，逐个进行记录的关键字和给定值比较，若某个记录的关键字和给定值相等，则查找成功，找到所查的记录；如果直到最后一个（或第一个）记录，其关键字和给定值比较都不等时，则表中没有所查的记录，查找不成功。

URL:http://www.cnblogs.com/tangge/p/5351291.html#SX

二、二分查找

折半查找（Binary Search）技术，又称为二分查找。它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序（通常从小到大有序），线性表必须采用顺序存储，其时间复杂度为O(logn)。

URL:http://www.cnblogs.com/tangge/p/5351291.html#EX

 

2.1.Array.BinarySearch方法

在调用这个方法前，需要确保作为参数的查找表内的关键字已经有序，否则就需要手动调用Array.Sort()方法进行排序。

2.2.System.Collections.SortedList类

SortedList类的Add方法，从中可以发现，它借助了Array.BinarySearch方法获取存储位置，也就是说它也使用了二分查找方法。

三、查找树方法

3.1.二叉查找树

（1）基本概念

二叉查找树（Binary Search Tree,BST）又称二叉排序树，它是满足如下性质的二叉树：

• 若它的左子树非空，则左子树上所有记录的值均小于根记录的值；
• 若它的右子树非空，则右子树上所有记录的值均大于根记录的值；
• 左、右子树又各是一棵二叉查找树。

假如有一个序列{62,88,58,47,35,73,51,99,37,93}，那么构造出来的二叉查找树如下图所示：

二叉查找树是递归定义的，其一般理解是：二叉查找树中任一节点，其值为k，只要该节点有左孩子，则左孩子的值必小于k，只要有右孩子，则右孩子的值必大于k。二叉查找树的一个重要的性质是：中序遍历该树得到的序列是一个递增有序的序列。

URL:http://www.cnblogs.com/tangge/p/5549844.html

（2）二叉查找树的新增操作

（3）二叉查找树的删除操作

step1”叶子节点：直接删除该节点，再修改其父节点的指针（注意分是根节点和不是根节点）

（例：删除72）

step2”单支节点（即只有左子树或右子树）：让p的子树与p的父亲节点相连，再删除p即可；（注意分是根节点和不是根节点两种情况）

（例：删除79）

step3”节点p的左子树和右子树均不为空：首先找到p的后继y，因为y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替p的值；或者可以先找到p的前驱x，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。

（4）二叉查找树的代码实现

有关二叉查找树的新增和删除节点如何实现，可以阅读《数据结构基础温故—4.树（中）》一文，该文使用C#实现了二叉查找树。

3.2.平衡二叉树

 （建议用红黑树）

AVL树

父节点的左子树和右子树的高度之差不能大于1，也就是说不能高过1层，否则该树就失衡了，此时就要旋转节点，在编码时，我们可以记录当前节点的高度，比如空节点是-1，叶子节点是0，非叶子节点的height往根节点递增，比如在下图中我们认为树的高度为h=2。

2.旋转

节点再怎么失衡都逃不过4种情况，下面我们一一来看一下。

① 左左情况（左子树的左边节点）

我们看到，在向树中追加“节点1”的时候，根据定义我们知道这样会导致了“节点3"失衡，满足“左左情况“，可以这样想，把这

棵树比作齿轮，我们在“节点5”处把齿轮往下拉一个位置，也就变成了后面这样“平衡”的形式，如果用动画解释就最好理解了。

② 右右情况（右子树的右边节点）

同样，”节点5“满足”右右情况“，其实我们也看到，这两种情况是一种镜像，当然操作方式也大同小异，我们在”节点1“的地方

将树往下拉一位，最后也就形成了我们希望的平衡效果。

③左右情况（左子树的右边节点）

从图中我们可以看到，当我们插入”节点3“时，“节点5”处失衡，注意，找到”失衡点“是非常重要的，当面对”左右情况“时，我们将

失衡点的左子树进行"右右情况旋转"，然后进行”左左情况旋转“，经过这样两次的旋转就OK了，很有意思，对吧。

④右左情况(右子树的左边节点）

这种情况和“情景3”也是一种镜像关系，很简单，我们找到了”节点15“是失衡点，然后我们将”节点15“的右子树进行”左左情况旋转“，

然后进行”右右情况旋转“，最终得到了我们满意的平衡。

3：添加

    如果我们理解了上面的这几种旋转，那么添加方法简直是轻而易举，出现了哪一种情况调用哪一种方法而已。

4：删除

删除方法跟添加方法也类似，当删除一个结点的时候，可能会引起祖先结点的失衡，所以在每次”结点“回退的时候计算结点高度。

5: 测试

不像上一篇不能在二叉树中灌有序数据，平衡二叉树就没关系了，我们的需求是检索2012-7-30 4:00:00 到 2012-7-30 5:00:00

的登陆用户的ID，数据量在500w，看看平衡二叉树是如何秒杀对手。

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading;
using System.IO;
using System.Diagnostics;

namespace DataStruct
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            AVLTree<int, int> avl = new AVLTree<int, int>();

            Dictionary<DateTime, int> dic = new Dictionary<DateTime, int>();

            AVLTree<DateTime, int> tree = new AVLTree<DateTime, int>();

            //500w
            for (int i = 1; i < 5000000; i++)
            {
                dic.Add(DateTime.Now.AddMinutes(i), i);

                tree.Add(DateTime.Now.AddMinutes(i), i);
            }

            //检索2012-7-30 4:00:00 到 2012-7-30 5:00:00的登陆人数
            var min = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:00:00");

            var max = Convert.ToDateTime("2012/7/30 5:00:00");

            var watch = Stopwatch.StartNew();

            var result1 = dic.Keys.Where(i => i >= min && i <= max).Select(i => dic[i]).ToList();

            watch.Stop();

            Console.WriteLine("字典查找耗费时间:{0}ms", watch.ElapsedMilliseconds);

            watch = Stopwatch.StartNew();

            var result2 = tree.SearchRange(min, max);

            watch.Stop();

            Console.WriteLine("平衡二叉树查找耗费时间:{0}ms", watch.ElapsedMilliseconds);

            Console.Read();
        }
    }

    #region 平衡二叉树节点
    /// <summary>
    /// 平衡二叉树节点
    /// </summary>
    /// <typeparam name="K"></typeparam>
    /// <typeparam name="V"></typeparam>
    public class AVLNode<K, V>
    {
        /// <summary>
        /// 节点元素
        /// </summary>
        public K key;

        /// <summary>
        /// 增加一个高度信息
        /// </summary>
        public int height;

        /// <summary>
        /// 节点中的附加值
        /// </summary>
        public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();

        /// <summary>
        /// 左节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> left;

        /// <summary>
        /// 右节点
        /// </summary>
        public AVLNode<K, V> right;

        public AVLNode() { }

        public AVLNode(K key, V value, AVLNode<K, V> left, AVLNode<K, V> right)
        {
            //KV键值对
            this.key = key;
            this.attach.Add(value);

            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }
    #endregion

    public class AVLTree<K, V> where K : IComparable
    {
        public AVLNode<K, V> node = null;

        #region 添加操作
        /// <summary>
        /// 添加操作
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="value"></param>
        public void Add(K key, V value)
        {
            node = Add(key, value, node);
        }
        #endregion

        #region 添加操作
        /// <summary>
        /// 添加操作
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="value"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Add(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                tree = new AVLNode<K, V>(key, value, null, null);

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Add(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }

            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Add(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }

            //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
                tree.attach.Add(value);

            //计算高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion

        #region 计算当前节点的高度
        /// <summary>
        /// 计算当前节点的高度
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public int Height(AVLNode<K, V> node)
        {
            return node == null ? -1 : node.height;
        }
        #endregion

        #region 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第一种：左左旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.left;

            //先截断当前节点的左孩子
            node.left = top.right;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.right = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

        #region 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// <summary>
        /// 第二种：右右旋转（单旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //top：需要作为顶级节点的元素
            var top = node.right;

            //先截断当前节点的右孩子
            node.right = top.left;

            //将当前节点作为temp的右孩子
            top.left = node;

            //计算当前两个节点的高度
            node.height = Math.Max(Height(node.left), Height(node.right)) + 1;
            top.height = Math.Max(Height(top.left), Height(top.right)) + 1;

            return top;
        }
        #endregion

        #region 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第三种：左右旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateLR(AVLNode<K, V> node)
        {
            //先进行RR旋转
            node.left = RotateRR(node.left);

            //再进行LL旋转
            return RotateLL(node);
        }
        #endregion

        #region 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// <summary>
        /// 第四种：右左旋转（双旋转）
        /// </summary>
        /// <param name="node"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> RotateRL(AVLNode<K, V> node)
        {
            //执行左左旋转
            node.right = RotateLL(node.right);

            //再执行右右旋转
            return RotateRR(node);

        }
        #endregion

        #region 是否包含指定元素
        /// <summary>
        /// 是否包含指定元素
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool Contain(K key)
        {
            return Contain(key, node);
        }
        #endregion

        #region 是否包含指定元素
        /// <summary>
        /// 是否包含指定元素
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool Contain(K key, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return false;
            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
                return Contain(key, tree.left);

            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
                return Contain(key, tree.right);

            return true;
        }
        #endregion

        #region 树的指定范围查找
        /// <summary>
        /// 树的指定范围查找
        /// </summary>
        /// <param name="min"></param>
        /// <param name="max"></param>
        /// <returns></returns>
        public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)
        {
            HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();

            hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);

            return hashSet;
        }
        #endregion

        #region 树的指定范围查找
        /// <summary>
        /// 树的指定范围查找
        /// </summary>
        /// <param name="range1"></param>
        /// <param name="range2"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return hashSet;

            //遍历左子树（寻找下界）
            if (min.CompareTo(tree.key) < 0)
                SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);

            //当前节点是否在选定范围内
            if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)
            {
                //等于这种情况
                foreach (var item in tree.attach)
                    hashSet.Add(item);
            }

            //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）
            if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)
                SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);

            return hashSet;
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最小节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最小节点
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMin()
        {
            return FindMin(node);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最小节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最小节点
        /// </summary>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMin(AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.left == null)
                return tree;

            return FindMin(tree.left);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最大节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最大节点
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMax()
        {
            return FindMin(node);
        }
        #endregion

        #region 找到当前树的最大节点
        /// <summary>
        /// 找到当前树的最大节点
        /// </summary>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> FindMax(AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            if (tree.right == null)
                return tree;

            return FindMax(tree.right);
        }
        #endregion

        #region 删除当前树中的节点
        /// <summary>
        /// 删除当前树中的节点
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <returns></returns>
        public void Remove(K key, V value)
        {
            node = Remove(key, value, node);
        }
        #endregion

        #region 删除当前树中的节点
        /// <summary>
        /// 删除当前树中的节点
        /// </summary>
        /// <param name="key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public AVLNode<K, V> Remove(K key, V value, AVLNode<K, V> tree)
        {
            if (tree == null)
                return null;

            //左子树
            if (key.CompareTo(tree.key) < 0)
            {
                tree.left = Remove(key, value, tree.left);

                //如果说相差等于2就说明这棵树需要旋转了
                if (Height(tree.left) - Height(tree.right) == 2)
                {
                    //说明此时是左左旋转
                    if (key.CompareTo(tree.left.key) < 0)
                    {
                        tree = RotateLL(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于左右旋转
                        tree = RotateLR(tree);
                    }
                }
            }
            //右子树
            if (key.CompareTo(tree.key) > 0)
            {
                tree.right = Remove(key, value, tree.right);

                if ((Height(tree.right) - Height(tree.left) == 2))
                {
                    //此时是右右旋转
                    if (key.CompareTo(tree.right.key) > 0)
                    {
                        tree = RotateRR(tree);
                    }
                    else
                    {
                        //属于右左旋转
                        tree = RotateRL(tree);
                    }
                }
            }
            /*相等的情况*/
            if (key.CompareTo(tree.key) == 0)
            {
                //判断里面的HashSet是否有多值
                if (tree.attach.Count > 1)
                {
                    //实现惰性删除
                    tree.attach.Remove(value);
                }
                else
                {
                    //有两个孩子的情况
                    if (tree.left != null && tree.right != null)
                    {
                        //根据平衡二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点
                        tree.key = FindMin(tree.right).key;

                        //删除右子树的指定元素
                        tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);
                    }
                    else
                    {
                        //自减高度
                        tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;

                        //如果删除的是叶子节点直接返回
                        if (tree == null)
                            return null;
                    }
                }
            }

            //统计高度
            tree.height = Math.Max(Height(tree.left), Height(tree.right)) + 1;

            return tree;
        }
        #endregion
    }
}

3.3.红黑树

另一种与平衡二叉树类似的是红黑树，红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识节点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。在.NET中的System.Collections.Generic命名空间下，SortedDictionary类就是使用红黑树实现的。红黑树和AVL树的原理非常接近，但是复杂度却远胜于AVL树，这里也就不做讨论。园子里也已经有了不少关于红黑树的比较好的介绍的文章，有兴趣的可以去阅读阅读。

http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/12/17/1356565.html 

参考：http://www.cnblogs.com/edisonchou/p/4700850.html

http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/11/17/1335031.html

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/07/22/2603956.html