Dijkstra算法详解

前言

前几天研究的Bellman_Ford算法虽然可以算负权，可是时间复杂度高达O(NM)，即使是采用了队列优化，也有可能被网格图卡回O(NM)，所以今天我们就来研究一个新的，更快的，但同时只能在正权图上运行的算法:Dijkstra（朴素Dijkstra算法）

Dijkstra基本思想及实现过程

我们首先需要以下几个数组：dist[],vis[],用邻接矩阵需要g[][],邻接表则需要v[],w[],head[],nxt[]

邻接表与邻接矩阵在此不做过多解释，不懂的同学请自行百度，dist[i]表示i离源点的最短路距离，vis[i]==1就表示i号节点已经永久标号（之后会详细解释什么是永久标号）

算法步骤：

1）将源点距离初始化为0，其它点为正无穷INF

2）经过n次如下操作，得到源点离其它点的最短距离：

1、选择一个未扩展的点k，满足dist[k]是未扩展节点中离源点距离最小的；

2、对k进行永久标号

3、以k为中间点修改源点到其它点的最短路距离

时间复杂度O(N²),由于所有边权都为正，从而保证了算法的正确性。

朴素Dijkstra（邻接矩阵）

通过上边的步骤依次实现即可，下面给出参考程序：

Dijkstra堆优化（邻接表+优先队列）

#include<iostream>
#include<cstring>
#define inf 336860180
using namespace std;
int n,m,x,y,w,map[1000][1000],minn,dist[1000],t;
bool pd[1000];
int main()
{
    memset(map,20,sizeof(map));
    memset(dist,20,sizeof(dist));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        map[i][i]=0;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y>>w;
        map[x][y]=w;
    }
    dist[1]=0;
    pd[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t=1;minn=9999999;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(pd[j]==0&&dist[j]<=minn)
            {
                minn=dist[j];
                t=j;
            }
        }
        pd[t]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dist[j]=min(dist[j],dist[t]+map[t][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i-1)cout<<" ";
        if(dist[i]!=inf)cout<<dist[i];
        else cout<<"INF";
    }
    return 0;
}

由于每次查找最短的点浪费大量时间，我们可以用优先队列进行查找，用pair记录，第一维记录最短距离，第二维记录点的编号，创建一个小根堆，每次取堆顶扩展即可。时间复杂度降为O((n+m)logm),参考程序如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef pair<long long,long long>P;
long long n,m,s,dist[100001],v[200005],w[200005],nxt[200005],head[200005],cnt,x,y,z;
bool vis[100001];
void add(long long a,long long b,long long c)
{
    v[++cnt]=b;
    w[cnt]=c;
    nxt[cnt]=head[a];
    head[a]=cnt;
}
void dijkstra(int s)
{
    memset(dist,20,sizeof(dist));
    priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
    dist[s]=0;
    q.push(P(0,s));
    while(!q.empty())
    {
        long long c=q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[c])continue;
        vis[c]=1;
        for(int i=head[c];i;i=nxt[i])
        {
            int y=v[i];
            if(dist[y]>=dist[c]+w[i])
            {
                dist[y]=dist[c]+w[i];
                q.push(P(dist[y],y));
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
    }
    dijkstra(s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dist[i]<<" ";
    }
    return 0;
}