线性代数1 行列式

二阶行列式

所谓二阶行列式，是由四个数，如 (a_{11})，(a_{12})，(a_{21})，(a_{22}) 排列成含有两行两列形如 (left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{array} ight|) 的式子，它表示一个数值，其展开式为

[left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{array} ight| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ]

三阶行列式

所谓三阶行列式，是由九个数，如 (a_{11})，(a_{12})，(a_{13})，(a_{21})，(a_{22})，(a_{23})，(a_{31})，(a_{32})，(a_{33}) 排列成含有三行三列形如 (left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight|) 的式子，它表示

一个数值，其展开式为

[left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} end{array} ight| =a_{11}left|egin{array}{c} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} end{array} ight|-a_{12} left|egin{array}{c} a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} end{array} ight|+a_{13} left|egin{array}{c} a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} end{array} ight| ]

n阶行列式

我们观察二、三阶行列式的定义，顺便定义一下一阶行列式：

（几乎全是复制）

所谓一阶行列式，是由一个数，如 (a_{11}) 排列成含有一行一列形如 (left|egin{array}{c} a_{11} end{array} ight|) 的式子，它表示一个数值，其展开式为

[left|egin{array}{c} a_{11} end{array} ight| =a_{11} ]

有了一阶行列式的定义，我们考虑像三阶行列式一样递归的定义二阶行列式：

[left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{array} ight| =a_{11}left|egin{array}{c} a_{22} end{array} ight|-a_{12}left|egin{array}{c} a_{21} end{array} ight| ]

至此，(n) 阶行列式的定义几乎呼之欲出了：
所谓 (n) 阶行列式，是由 (n^2) 个数，如 (a_{11})，(a_{12})，(cdots)，(a_{nn}) 排列成含有 (n) 行 (n) 列形如 (left|egin{array}{c} a_{11} & cdots & a_{1n} \ cdots & ddots & cdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn} end{array} ight|) 的式子，它表示一个数值，其展开式为

[left|egin{array}{c} a_{11} & cdots & a_{1n} \ cdots & ddots & cdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}left|egin{array}{c} a_{21} & cdots & a_{2 i-1} & a_{2 i+1} & cdots & a_{2n} \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ a_{n1} & cdots & a_{n i-1} & a_{n i+1} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

（其实就是对于第一行的每个元素，用它乘除了它同行同列的剩下来数构成的子行列式。）

上式中令

[M_{1i}= left|egin{array}{c} a_{21} & cdots & a_{2 i-1} & a_{2 i+1} & cdots & a_{2n} \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ cdots & ddots & ddots & ddots & ddots & cdots \ a_{n1} & cdots & a_{n i-1} & a_{n i+1} & cdots & a_{nn} end{array} ight|$$，称为元素 $a_{1i}$ 的**余子式**。令 ]

A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素 (a_{1j}) 的代数余子式。

行列式在解线性方程的运用：Cramer法则

目标：求解关于 (x_1)，(x_2)，(cdots)，(x_n) 的 (n) 元线性方程组

[egin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2\ cdots \ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + cdots + a_{nn}x_n = b_n \ end{cases} ]

Cramer法则求解：

令

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & cdots & a_{1n} \ cdots & ddots & cdots \ a_{n1} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

，称之为该方程组的系数行列式。

同时，把行列式 (D) 的第 (i) 列替换为方程组的常数列项（(b_1)，(b_2)，(cdots)，(b_n)），得到新的行列式记为 (D_i)，即

[D_1=left|egin{array}{c} b_1 & a_{12} & cdots & a_{1n} \ b_2 & a_{22} & cdots & a_{2n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ b_n & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight|, D_2=left|egin{array}{c} a_{11} & b_1 & cdots & a_{1n} \ a_{21} & b_2 & cdots & a_{2n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & b_n & cdots & a_{nn} end{array} ight|, cdots, D_n=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & b_1 \ a_{21} & a_{22} & cdots & b_2 \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & b_n end{array} ight| ]

若线性方程组的系数行列式 (D ot=0)，则该方程组有唯一解：

[x_i=D/D_iqquad (i=1,2,cdots,n) ]

Cramer法则的应用

例题 求解二元线性方程组

[egin{cases} 5x_1+x_2 = 4 \ 2x_1-3x_2 = 5 end{cases} ]

解 这个线性方程组的系数行列式为

[D=left|egin{array}{c} 5 & 1 \ 2 & -3 end{array} ight|=-17 ]

由于 (D=17 ot=0)，该线性方程组有唯一解，

[D_1=left|egin{array}{c} 4 & 1 \ 5 & -3 end{array} ight|=-17, D_2=left|egin{array}{c} 5 & 4 \ 2 & 5 end{array} ight|=17 ]

即

[egin{cases} x_1=D/D_1=1 \ x_2=D/D_2=-1 end{cases} ]

Cramer法则与齐次性

若线性方程组的常数项全为零，即

[egin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = 0 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = 0 \ cdots \ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + cdots + a_{nn}x_n = 0 \ end{cases} ]

则称该线性方程组为齐次线性方程组。反之，如果常数项不全为零，则称之为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组永远有解，这组解为 (x_i = 0qquad (i=1,cdots,n))，这组解被称为零解。
由Cramer法则容易知道，当线性方程的系数行列式不等于 (0) 时，方程只有零解。

Cramer法则的局限性

1. 应用Cramer法则求解 (n) 元线性方程组时，必须有 (n) 条方程。
2. 应用Cramer法则求解 (n) 元线性方程组时，因涉及到行列式的计算问题，即需要计算 (n+1) 个 (n) 阶行列式的值，这样，随着 (n) 的增大，求解的计算量是相当大的。

行列式的性质

行列式转置：

对于行列式

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

其转置为

[D^T=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{21} & cdots & a_{n1} \ a_{12} & a_{22} & cdots & a_{n2} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{1n} & a_{2n} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

性质1 (D) = (D^T)
推论 行列式可按任一行（列）展开，即

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} ]

（其中 (A_{ij})即为上文所提到的代数余子式。）

性质2 行列式可以按行（列）提取公因子，即

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ ka_{i1} & ka_{i2} & cdots & ka_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =k left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

性质3 行列式中某一行（列）元素全为零时，值为零。
性质4 行列式两行（列）互换值反号，即

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =-left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

性质5 行列式可以拆行（列）相加，即

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1}+a'_{i1} & a_{i2}+a'_{i2} & cdots & a_{in}+a'_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| +left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a'_{i1} & a'_{i2} & cdots & a'_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]

性质6 行列式两行（列）成比例值为零。
推论 行列式两行（列）相同值为零。
性质7 行列式某行（列）的倍数加到另一行（列）值不变，即

[D=left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1} & a_{i2} & cdots & a_{in} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| =left|egin{array}{c} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{j1} & a_{j2} & cdots & a_{jn} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{i1}+a_{j1} & a_{i2}+a_{j2} & cdots & a_{in}+a_{jn} \ cdots & vdots & ddots & cdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{array} ight| ]