1.从代数到图论
1.1.差分约束方程
差分约束方程就是形如 (x_i-x_j leq w_{ij}) 或 (x_i-x_j geq w_{ij}) 的方程组
比如说：
(egin{cases}x_1-x_3 leq 5 \x_1-x_2 leq 2 \x_2-x_1 leq 0 \x_2-x_3 leq 2 \x_3-x_2 leq -1 \ x_3-x_1 leq -2 end{cases})
就是一组差分方程。
下面是它的一组解：
(egin{cases}x_1=5 \x_2=3 \x_3=1 end{cases})
一组差分约束方程要么有无穷组解，要么无解。因为如果它有解，那么它的解同时加上一个实数 (k)，依旧是一组解。因为每个数都加(k)，他们任意两个数之间的差是不变的，所以对于不等式没有影响。
(mathtt{For} mathtt{Example}:)
上式的解还可以是
(egin{cases}x_1=6 \x_2=4 \x_3=2 end{cases})
（同时加(1)）
1.2.图论解法
多数博客接下来是这么说的：
看到 (x_i - x_j leq w_{ij})
有没有想到什么呢？ 可以变形为 (x_i leq x_j + w_{ij}) ,这与单元最短路中的三角形不等式(D_i<=D_j+w_{ij})非常相似
因此，可以把每个变量 (x_i) 看做有向图中的一个结点(i),对于约束条件 (X_i - X_j ≤ w_{ij}) ,从结点(j)向结点i连一条权值为 (w_{ij}) 的有向边。
这里补充一下：(D_i)就是上面(x_i)的一组解。
讲得是没错，然而，凭什么长得像就可以随便乱套呢？
首先第一步最开始，
我们画张图看看：
比如对于(x_1-x_3 leq 5)，如果有当前从1到3的最短路大于5，那么一定会被这条路（(1 ightarrow3)）替换掉。
同理，对于 (x_i-x_j leq w_{ij})，如果有当前从(i)到(j)的最短路大于(w_{ij})，那么一定会被这条路（(i ightarrow j)）替换掉。
大于也是同样的原理，可以举一反三。
同理可得其它边，以保证在前提（差分约束方程）不被违反的情况下得到最优解。
2.差分约束系统
2.1.大于还是小于
众所周知，不等式方程是互通的，它们可以互相转换。
(mathtt{For} mathtt{Example}:)
刚才的方程组：
(egin{cases}x_1-x_3 leq 5 \x_1-x_2 leq 2 \x_2-x_1 leq 0 \x_2-x_3 leq 2 \x_3-x_2 leq -1 \ x_3-x_1 leq -2 end{cases})
等价于：
(egin{cases}x_3-x_1 geq -5 \x_2-x_1 geq -2 \x_1-x_2 geq 0 \x_3-x_2 geq -2 \x_2-x_3 geq 1 \ x_1-x_3 geq 2 end{cases})
那么差分约束系统该用大于还是小于呢？
事实上，两者都有使用，具体看情况。
小于求最短路得到最大值，
大于求最长路得到最小值。
2.2.无解情况
并不是所有差分约束方程都有解。大致可分为两类：
2.2.1.条件矛盾
顾名思义，满足了条件A就无法满足条件B。
(mathtt{For} mathtt{Example}:)
(egin{cases}x_1-x_2 leq 5 \ x_2-x_1 leq -6end{cases})
等价于：
(egin{cases}x_1-x_2leq5 \ x_1-x_2geq6end{cases})
2.2.2.无关未知数
这个其实不一定算无解，不过和2.2.1判断方法一致，就勉强算无解吧。
未知数没有构成强连通分量。
(mathtt{For} mathtt{Example}:)
(egin{cases}x_1-x_2 leq 5 \ x_3-x_1 leq 2\ x_4-x_5 leq 2 \ x_5-x_6 leq -3end{cases})
这里
(x_1,x_2,x_3)与(x_4,x_5,x_6)毫无关联。
2.2.3.判断无解
最短路有负环或最长路有正环即为无解。
2.3.超级原点
超级原点连接到所有点，且权值都是0。
在求最长路时，可以加入一个超级原点以简化代码。
最短路似乎好像也许可能可以加入超级原点，不过容易引起错误。
2.4.去除重边
重复的边会容易导致错误（误判负环）
去重边的伪代码
flag <- 1
for i in G[u]
if G[u,i].v = v
if w better than G[u,i].w
set new G[u,i].w
flag <- 0;
if flag = 1
G[u].append(v, w)
3.模板代码
就是一个spfa模板：
bool spfa() {
memset(d, 0xef, sizeof(d));
d[0] = 0;
q.push(0);
tx[0] = 1;
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = 0;
for(unsigned i = 0; i < G[u].size(); ++i) {
int v = G[u][i].v;
int dis = G[u][i].w;
if (d[v] > d[u] + dis) {
d[v] = d[u] + dis;
if (++tx[v] >= 40) {
return 0;
}
if (!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v] = 1;
}
}
}
}
return 1;
}
最长时改一下符号：
if (dis[v] < dis[u] + w) {
--snip--
}
4.例题
P1993 小K的农场
模板题，长短路均可，主要问题是如何插入边：
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d %d %d", &t, &a, &b);
if (t == 3) {
G[a].push_back(node(b, 0));
G[b].push_back(node(a, 0));
} else {
scanf("%d", &c);
if (t == 1) {
G[a].push_back(node(b, c));
} else {
G[b].push_back(node(a, -c));
}
}
}
tyvj-p1277 关系运算图
好像现在看不到题了：
Description
给出一有向图，图中每条边都被标上了关系运算符‘<’,‘>’,‘=’。现在要给图中每个顶点标上一个大于等于0,小于等于k的某个整数使所有边上的符号得到满足。若存在这样的k，则求最小的k，若任何k都无法满足则输出NO。
例如下表中最小的k为2。
结点1>结点2
结点2>结点3
结点2>结点4
结点3=结点4
如果存在这样的k，输出最小的k值；否则输出‘NO’。
Input
共二行，第一行有二个空格隔开的整数n和m。n表示G的结点个数，m表示G的边数，其中1<=n<=1000, 0<=m<=10000。全部结点用1到n标出，图中任何二点之间最多只有一条边，且不存在自环。
第二行共有3m个用空格隔开的整数，第3i-2和第3i-1（1<=i<=m）个数表示第i条边的顶点。第3i个数表示第i条边上的符号，其值用集合{-1，0，1}中的数表示：-1表示‘<’, 0 表示‘=’, 1表示‘>’。
Output
仅一行，如无解则输出‘NO’；否则输出最小的k的值。
Sample Input
4 4
1 2 -1 2 3 0 2 4 -1 3 4 -1
Sample Output
2
模板题，最长路
HDU3440 House Man
最短路，如果最高楼在最矮楼左边就翻转高度数组。
@2019-7-31 贵州铜仁镇远古镇