Description
给一个 $n imes n$ 的棋盘，上面有 $n imes n$ 个 $[1,n imes n]$ 之间的整数且互不相同。
棋盘上有一个车和一个后，初始都在数字 $1$ 处。
走法如下：
- 车能到达同一行或同一列的任何（没有被自己访问过的）位置，后能到达同一行，同一列或同一斜线上任何（没有被自己访问过的）位置;
- 每次车和后都会走到能到达的数字中最小的。如果不存在，那么会花费 $1$ 的代价传送到整个棋盘中没有被自己访问过的数字最小的位置。
求一种方案，满足车走完的代价严格小于后走完的代价 ,或者输出 $-1$ 表示不存在这样的方案。
Solution
首先发现 $n le 2$ 是没法做的。
然后 $n = 3$ 可以暴力算一下，比如下面这种方案就是合法的：
那么，如果 $n > 3$，能不能转化一下变成 $n = 3$ 的问题呢？
一种方法是使得外面的位置都不造成作用，只有最左上角的九格才发挥作用。
也就是我们只要确保两个棋子都能恰好将外面的绕完，然后进入最左上角的九宫格就行了，比如下面这样就是 $n = 5$ 的构造方法：
$$egin{matrix} color{red} 1 color{blue} {+ 16} & color{red} 7 color{blue} {+ 16} & color{red} 9 color{blue} {+ 16} & 7 o & 8 downarrow \ color{red} 3 color{blue} {+ 16} & color{red} 2 color{blue} {+ 16} & color{red} 5 color{blue} {+ 16} & 6uparrow & 9 downarrow \ color{red} 4 color{blue} {+ 16} & color{red} 8 color{blue} {+ 16} & color{red} 6 color{blue} {+ 16} & 5uparrow & 10 downarrow \ 1 o & 2 o & 3 o & 4uparrow & 11 downarrow \ 16 gets & 15 gets & 14 gets & 13 gets & 12 gets end{matrix}$$
于是就是一个普及组的填数问题了。
代码仅供参考。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 505;
int n, a[N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
if(n <= 2) return puts("-1") && 0;
int cnt = 0, outmax = n * n - 9;
a[1][1] = 1 + outmax; a[1][2] = 7 + outmax; a[1][3] = 9 + outmax;
a[2][1] = 3 + outmax; a[2][2] = 2 + outmax; a[2][3] = 5 + outmax;
a[3][1] = 4 + outmax; a[3][2] = 8 + outmax; a[3][3] = 6 + outmax;
for(int i = 1; i <= n - 3; i++)
{
if(i & 1)
{
for(int j = 1; j <= i + 2; j++) a[i + 3][j] = ++cnt;
a[i + 3][i + 3] = ++cnt;
for(int j = i + 2; j >= 1; j--) a[j][i + 3] = ++cnt;
}
else
{
for(int j = 1; j <= i + 2; j++) a[j][i + 3] = ++cnt;
a[i + 3][i + 3] = ++cnt;
for(int j = i + 2; j >= 1; j--) a[i + 3][j] = ++cnt;
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++, puts(""))
for(int j = 1; j <= n; j++) printf("%d ", a[i][j]);
return 0;
}