总结「积性函数和筛法」

定义

若函数 (f(n)) 满足 (f(1)=1) 且 (forall x,y in {Bbb{N}}_{+},{ m{gcd}}(x,y)=1) 都有 (f(xy)=f(x)f(y)) ，则 (f) 为积性函数。

若函数 (f(n)) 满足 (f(1)=1) 且 (forall x,y in {Bbb{N}}_{+}) 都有 (f(xy)=f(x)f(y)) ，则 (f) 为完全积性函数。

性质

比较重要的有：若 (f,g) 为积性函数，则满足

[h(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}) ]

的函数 (h) 也为积性函数。

函数 (h) 称作 (f,g) 的Dirichlet卷积，记作 (f*g) 。

例子

单位函数

[epsilon(n)=[n=1] ]

有：

[epsilon=mu*{ m{I}} iff epsilon(n)=sum_{d|n}mu(d) ]

这个式子尤其常用。

任何函数卷 (epsilon) 都为其本身。

恒等函数

[{ m{id}}_k(n)=n^k ]

一般用 ({ m{id}}) 表示 ({ m{id}}_1) 。

常数函数

[{ m{I}}(n)=1 ]

在杜教筛中有用到。

除数函数

[sigma_k(n)=sum_{d|n}d^k ]

一般 (sigma_0) 记作 ({ m{d}}) ，(sigma_1) 记作 (sigma) 。

对于 (sigma) ，有：

[sigma={ m{id}}*{ m{I}} iff sigma(n)=sum_{d|n}d ]

线性筛 ({ m{d}})

设 (n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i}) ，则根据乘法原理有：

[{ m{d}}(n)=prod_{i=1}^m(c_i+1) ]

• 对于质数 (p) ，有 ({ m{d}}(p)=2) 。
• 对于 (a,b) 满足 (aot b) ，有 ({ m{d}}(ab)={ m{d}}(a){ m{d}}(b)) 。
• 对于质数 (p) 与合数 (a) 满足 (p|a) ，设 (c) 为 (p) 在 (pa) 中的次数，有 ({ m{d}}(pa)={ m{d}}(a)frac{c+1}{c}) 。

于是就可以线性筛了：

(num_i) 记录 (i) 的最小质因子的次数。

inline void sieve()
{
    d[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,d[i]=2,num[i]=1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
        {
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j])
            {
                num[i*prime[j]]=1;
                d[i*prime[j]]=d[i]*2;
            }
            else
            {
                num[i*prime[j]]=num[i]+1;
                d[i*prime[j]]=d[i]/num[i*prime[j]]*(num[i*prime[j]]+1);
                break;
            }
        }
    }
}

线性筛 (sigma)

由乘法原理得：

[sigma(n)=prod_{i=1}^msum_{j=0}^{c_i}p_i^j ]

令 (f) 记录约数和，(g) 记录最小质因子 (p) 的 (sum_{i=0}^{c}p^i) 。则有：

• 对于质数 (p) ，有 (f(p)=1+p,g(n)=1+p) 。
• 对于 (a,b) 满足 (a ot b) ，且 (ab) 的最小质因子为 (p) ，有 (f(ab)=f(a)f(b),g(ab)=sum_{i=0}^{c}p^i) 。
• 对于质数 (p) 和合数 (a) 且 (p) 是 (a) 的最小质因子，有 (g(pa)=g(a) imes p+1,f(pa)=f(a)frac{g(pa)}{g(a)})

inline void sieve()
{
    f[1]=g[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;++i)
    {
        if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,f[i]=g[i]=1+i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
        {
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j])
            {
                f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
                g[i*prime[j]]=1+prime[j];
            }
            else
            {
                g[i*prime[j]]=g[i]*prime[j]+1;
                f[i*prime[j]]=f[i]/g[i]*g[i*prime[j]];
                break;
            }
        }
    }
}

欧拉函数

[varphi(n)=sum_{i=1}^n[iot n] ]

设 (n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i}) ，则有通式：

[varphi(n)=n imes prod_{i=1}^mfrac{p_i-1}{p_i} ]

有：

[varphi * { m{I}}={ m{id}} ]

证明：

因为 (varphi) 是积性函数，所以只需要证明 (n=p^c) 的情况，即证明：

[(varphi*{ m{I}})(n)=sum_{d|n}varphi(d)={ m{id}}(n) ]

因为 (n=p^c) 所以 (d=1,p,p^2,p^3 cdots,p^c) ，将上式改为枚举 (p) 的次数：

[egin{align} sum_{d|n}varphi(d)&=sum_{i=0}^cvarphi(p^i)\ &=1+p^0(p-1)+p^1(p-1)+cdots+p^{c-1}(p-1)\ &=p^c\ &={ m{id}}(n) end{align} ]

上面用到了欧拉函数的性质： (varphi(p^c)=p^{c-1}(p-1)) 。

(varphi*{ m{I}}={ m{id}}) 得证。

线性筛 (varphi)

• 对于质数 (p) ，有 (varphi(p)=p-1) 。
• 对于 (a,b) 满足 (aot b) ，有 (varphi(ab)=varphi(a)varphi(b)) 。
• 对于质数 (p) 和数 (a) 满足 (p|a) ，有 (varphi(pa)=varphi(a) imes p) 。

对于第三种情况，证明如下：

因为 (p|a) ，所以 (a) 包含了所有 (pa) 的质因子，则有：

[egin{align} varphi(pa)&=p imes aprod_{i=1}^mfrac{p_i-1}{p_i}\ &=p imesvarphi(a) end{align} ]

证毕。

inline void sieve()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++)
		{
			flag[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

莫比乌斯函数

[mu(n)=egin{cases}1 & n=1\ 0 & exists d>1:d^2|n \ (-1)^{omega(n)} & ext{otherwise}end{cases} ]

其中 (omega(n)) 表示 (n) 不同质因子个数。

有：

[sum_{d|n}mu(d)=epsilon(n) iff epsilon=mu*{ m{I}} ]

证明：

令 (n=prod_{i=1}^mp_i^{c_i},n'=prod_{i=1}^mp_i) ，则：

[egin{align} sum_{d|n}mu(d)&=sum_{d|n'}mu(d)\ &=sum_{i=0}^m{m choose i} imes 1 imes (-1)^i\ &=(1+(-1))^k\ &=egin{cases}1 & k=0 \ 0 & k ot =0end{cases}\ &=egin{cases}1 & n=1 \ 0 & n ot =1end{cases}\ &=epsilon(n) end{align} ]

这同时也证明了 (epsilon=mu*{ m{I}}) 。

证毕。

与欧拉函数结合，有：

[varphi=mu*{ m{id}} iff varphi(n)=sum_{d|n}dcdotmu(frac{n}{d}) ]

证明：

[varphi*{ m{I}}={ m{id}} iff varphi*{ m{I}}*mu={ m{id}}*mu iff varphi=mu*{ m{id}} ]

上面用到了 (mu*{ m{I}}=epsilon) 的结论。

证毕。

反演结论

[[{ m{gcd}}(i,j)=1] iff sum_{d|i,d|j}mu(d) ]

线性筛 (mu)

• 对于质数 (p) ，有 (mu(p)=-1) 。
• 对于 (a,b) 满足 (aot b) ，有 (mu(ab)=mu(a)mu(b)) 。
• 对于质数 (p) 和整数 (a) 满足 (p|a) ，有 (mu(pa)=0) 。

inline void sieve()
{
    mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!flag[i]) prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j)
		{
			flag[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

---

参考资料：

莫比乌斯反演 - OI Wiki

筛法 - OI Wiki