《整体微分几何初步》教材勘误

《整体微分几何初步》教材勘误

沈一兵编著的2009年7月高等教育出版社的《整体微分几何初步》(第三版)是南京大学《微分几何》课程(2021年春季学期)的中文参考教材，因为精力所限，只给出在学习过程中发现的前三章的勘误(其中第7个错误和第8个错误由陈学长老师指出).

在第零章到第二章，至少有下面八个错误.

0.2节， (E^3) 中的曲面，P9，公式(2.9)，对偶基

[omega^1=sqrt{g_{11}}du^1,qquadomega^2=dfrac{g_{12}}{sqrt{g_{11}}}du^1+dfrac{sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{sqrt{g_{11}}}du^2. ]

应改为

[omega^1=sqrt{g_{11}}du^1+dfrac{sqrt{g_{11}g_{22}-g_{12}^2}}{sqrt{g_{11}}}du^2,qquadomega^2=dfrac{g_{12}}{sqrt{g_{11}}}du^1. ]

0.3节，曲面上的曲率，P15，最后一段，主方向：

由线性代数知，Weingarten变换有两个实的特征值 (k_1,k_2) ，并可选取对应的特征向量 (e_1,e_2) ，使得 (e_alpha e_eta=delta^alpha_eta) ，且
(W(e_alpha)=k_alpha e_alpha) .

应改为

由线性代数知，Weingarten变换有两个实的特征值 (k_1,k_2) ，并可选取对应的特征向量，作为 (e_1,e_2) 在 (x_1,x_2) 下的坐标，使得 (e_alpha e_eta=delta^alpha_eta) ，且 (W(e_alpha)=k_alpha e_alpha) .

0.3节，曲面上的曲率，P18，中间一段，二阶近似：

利用(3.16)，记 (delta=sqrt{(Delta u^1)^2+(Delta u^2)^2}) ，它的二阶近似是

[x(u^1+Delta u^1,u^2+Delta u^2)\ =x(u^1,u^2)+[Delta u^1sqrt{g_{11}}+o(delta)]e_1+[Delta u^2sqrt{g_{22}}+o(delta)]e_2\ +dfrac{1}{2}[h_{11}(Delta u^1)^2+h_{22}(Delta u^2)^2+o(delta^2)]e_3.]

应改为

利用(3.16)，记 (delta=sqrt{(Delta u^1)^2+(Delta u^2)^2}) ，它的二阶近似是

[x(u^1+Delta u^1,u^2+Delta u^2)\ =x(u^1,u^2)+[Delta u^1sqrt{g_{11}}+Gamma_{alphaeta}^1sqrt{g_{11}}Delta u^alphaDelta u^eta+o(delta^2)]e_1\ +[Delta u^2sqrt{g_{22}}+Gamma_{alphaeta}^2sqrt{g_{22}}Delta u^alphaDelta u^eta+o(delta^2)]e_2\ +dfrac{1}{2}[h_{11}(Delta u^1)^2+h_{22}(Delta u^2)^2+o(delta^2)]e_3.]

0.3节，曲面上的曲率，P20，中间一段，全脐曲面：

对上式两边求导，可得

[n_{12}=-lambda x_{12}-dfrac{partiallambda}{partial u^2}x_1. ]

应改为

局部 (lambda=dfrac{h_{alphaeta}}{g_{alphaeta}}) 光滑，对上式两边求导，可得

[n_{12}=-lambda x_{12}-dfrac{partiallambda}{partial u^2}x_1. ]

2.1节，平面曲线的某些整体性质，P65，中间一段，旋转指标：

因此

[int_0^Lk_rds=int_0^lleft(dfrac{d heta}{dt} ight)ds= heta(l)- heta(0)=2pi i_r(C). ]

应改为

因此

[int_0^Lk_rds=int_0^lleft(dfrac{d heta}{dt} ight)dt= heta(l)- heta(0)=2pi i_r(C). ]

2.1节，平面曲线的某些整体性质，P70，习题8，平行曲线：

(2) (ar{k}_r(s)=dfrac{k_r(s)}{1+a}) .

应改为

(2) (ar{k}_r(s)=dfrac{k_r(s)}{1+ak_r(s)}) .

2.2节，空间曲线的某些整体性质，P81，开头一段，球面曲线的全挠率定理：

根据定理条件，(2.15)中积分与路径 (C) 无关，因而被积函数是某个函数的全微分( (mod d heta) ).因此，存在函数 (F:U o R) ，使

[(de_2)Q=dF=F_1omega^1+F_2omega^2. ]

应改为

根据定理条件，(2.15)中积分与路径 (C) 无关，选取 (sigma=sigma_0inmathbb{Z}) 的闭曲线族中的曲线，则被积函数是某个函数的全微分.因此，存在函数 (F:U o R) ，使

[(de_2)Q=dF=F_1omega^1+F_2omega^2. ]

2.2节，空间曲线的某些整体性质，P81，中间一段，球面曲线的全挠率定理：

由于 (omega^1) 和 (omega^2) 是线性独立的，故从上式推得

[F_1=0,F_2=0. ]

应改为

由于 (u^1,u^2) 是独立的，故 (omega^1,omega^2) 是独立的，故从上式推得

[F_1=0,F_2=0. ]

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