南京大学2021年春季学期《微分几何》期中考试

南京大学2021年春季学期《微分几何》期中考试

每题20分，限时2小时。考试时间：2021年5月13日。

题目有修正。

一、求曲线的曲率、挠率、Frenet标架.

二、正则曲线的切线过定点，证明曲线是直线或直线的一部分.取消正则性条件，结论是否成立?

三、已知曲面 ({f x}(u,v)) 的 (K,H) ，设 (ainmathbb{R}) 且当 (a eq0) 时主曲率不等于 (dfrac{1}{a}) ，求平行曲面 ({f y}(u,v)={f x}(u,v)+a{f n}(u,v)) 的 (ar{K},ar{H}) .

四、正则曲面的切面过定点，证明曲面是锥面的一部分.

五、定义测地挠率为测地线的挠率，证明 ( au_g=n' imes(T imes n)) ，证明 ((k_n)^2+( au_g)^2-2Hk_n+K=0) .

前两题送分，不解释。

第二题的反例见Do Carmo教材P26的第10题。

第三题至少有五种思路：

(方法一)(原创)计算平行曲面的第一、第二基本形式，取曲率线网，计算主曲率，计算平均曲率和高斯曲率。其中用到了三个基本形式的关系

[III=2HII−KI ]

如果没有记住，就需要正确推导。最终结果是

[ar{H}=dfrac{-aK+H}{a^2K-2aH+1},qquadar{K}=dfrac{K}{a^2K-2aH+1}. ]

(方法二)(陈学长老师提供)根据

[n_1 imes n_2=K x_1 imes x_2,qquad n_1 imes x_2+x_1 imes n_2=-2Hx_1 imes x_2 ]

来计算。

(方法三)(石亚龙老师提供)根据 (nperp y_alpha) 得 (n=ar{n}) ，根据

[ar{W}(a_alpha^eta y_eta)=k_alpha a_alpha^eta x_eta,qquad y_alpha=x_alpha-aW(x_alpha),1lealphale2, ]

在移动标架 ({y;y_1,y_2,n}) 下计算.

(方法四)(方法五)(改编自方法三)在移动标架 ({x;x_1,x_2,n},{x;W(a_1^alpha x_alpha),W(a_2^alpha x_alpha),n}) 下计算.

从(方法四)(方法五)中可见(方法一)的核心，即 (K,H) 内蕴。原题缺少当 (a eq0) 时主曲率不等于 (dfrac{1}{a}) (全脐)的条件，或者约定 (all 1) 。

第四题是第二题的结果直接推广到曲面。直接计算基本形式，使用曲面论基本定理，是一条思路，但是可能行不通。不妨设定点是原点，考虑锥面的齐次性条件，延拓曲面得到直纹面，利用已知条件立得曲面是锥面或平面。原曲面是去除非正则点（顶点）的局部锥面。思路源于沈一兵教材P14第0.2节习题7，坐标变换补充条件是本题的亮点。原题缺少局部条件。

第五题是沈一兵教材P27第0.4节习题6原题。这个题的难点就是使用行列式表示测地挠率，不易直接观察出来。原题有P26第0.4节习题1作为引理，证明难度就小了很多。如果考场上忘记了行列式的形式，那么难度会很大。解决方法是直接在曲率线网下进行计算。最后还要注意设 (T=cos heta dfrac{x_1}{sqrt{g_{11}}}+sin heta dfrac{x_2}{sqrt{g_{22}}}) ，如果没有 ( heta) 参数，那么最后很难建立 (du^1,du^2) 的联系，得到最终结果。

总结

本次期中考试没有特别难的题，考察的都是基本功。在应试时，在已经做过的习题中寻找解题思路，要比寻找新思路要容易得多。从最终结果来看，说明平时还要多做题。

最后，期末考试加油！