求逆序对的各种算法

目录

• 1.冒泡排序
  • 思想
  • 代码：
• 2.归并排序
  • 思想
  • 代码
• 3.树状数组
  • 思想
  • 代码
• 4.线段树
  • 思想
  • 代码

设(A)为一个有(n)个数字的有序集((n>1))，其中所有数字各不相同。

如果存在正整数(i,j)使得(1 ≤ i < j ≤ n)而且(A[i] > A[j])，则(<A[i], A[j]>)这个有序对称为(A)的一个逆序对，也称作逆序数。
——百度

1.冒泡排序

思想

我们的冒泡排序的思想十分简单，我们每一次循环都将最大的数排到最后面。我们每交换一次就是一个逆序对。

我们冒泡排序有一个简单的小优化：如果我们某一轮没有交换了，我们的序列即为有序。

代码：

for(int i=1;i<=n;i++) {
	bool flag=1;
	for(int j=1;j<=n-i;j++)
		if(a[j]>a[j+1]) swap(a[j],a[j+1]),flag=0,ans++;
	if(flag) break;
}

时间复杂度(O(n^2))。

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2.归并排序

思想

我们首先来了解一下归并排序的思想：二分和合并。

三部曲：
1.划分：把序列分成元素个数尽量相等的两半
2.递归求解：把两半元素分别排序
3.合并问题：把两个有序表合并为一个

合并：每次只需把左右两边序列的最小元素进行比较，把其中较小的元素加入到合并后的辅助数组中。

void msort(int s,int t) {
	if(s==t) return ;
	int mid=(s+t)>>1;
	msort(s,mid),msort(mid+1,t);
	
	int i=s,j=mid+1,k=s;
	while(i<=mid && j<=t) {
		if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
		else r[k]=a[j],k++,j++;
	}
	
	while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
	while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
	for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
	return ;
}

我们可以假设左边序列为({3，4，7，9})，右边为({1，5，8，10})

我们的第一步就是比较(1)和(3)，因为(1<3)，所以(1)入预备数组。

我们这时候可以发现，我们的(1)与左边序列的(3)和(3)之后的数都是逆序对，一共就(4)对了。这也是归并排序找逆序对快的原因。

我们只需要在(a[i]>a[j])时，答案加上(mid-i+1)。

代码

void msort(int s,int t) {
	if(s==t) return ;
	int mid=(s+t)>>1;
	msort(s,mid),msort(mid+1,t);
	
	int i=s,j=mid+1,k=s;
	while(i<=mid && j<=t) {
		if(a[i]<=a[j]) r[k]=a[i],k++,i++;
		else r[k]=a[j],k++,j++,ans+=mid-i+1;
	}
	
	while(i<=mid) r[k]=a[i],k++,i++;
	while(j<=t) r[k]=a[j],k++,j++;
	for(int i=s;i<=t;i++) a[i]=r[i];
	return ;
}

时间复杂度(O(n log n))。

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3.树状数组

树状数组
我们的树状数组也是可以求逆序对的。

思想

实际上就是统计当前元素的前面有几个比它大的元素的个数，然后把所有元素比它大的元素总数累加就是逆序对总数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1005],lsh[1005],BIT[1005];

int lowbit(int x) { return x & -x; }

void update(int k,int x) {
	for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i)) BIT[i]+=x;
	return ;
}

int ask(int x) {
	int ans=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans+=BIT[i];
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),lsh[i]=a[i];
	sort(lsh+1,lsh+n+1);//离散化
	unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		update(a[i],1);//在a[i]这个位置上加1
        ans+=i-ask(a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

时间复杂度(O(n log n))。

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4.线段树

思想

逆序对可以表示成一个数前面有几个比这个数大的数，就表示这个数所形成的逆序对数。

我们查找就是：
找(a[i]+1)~(Max)的值。

我们加入就是:
(a[i])这个位置的数量加(1)。

我们最后把查找到的所有对数输出即可。

但我们的数可能很大，我们这时就需要使用到离散化了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[500005],lsh[500005],maxx;
struct SementTree{ int l,r,sum; }t[2000005];

void read(int &x) {
    int f=1; x=0; char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0' && ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    x*=f;
}

void init() {
	sort(lsh+1,lsh+n+1);
	unique(lsh+1,lsh+n+1)-lsh-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
	return ;
}

void build(int p,int l,int r) {
	t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].sum=0;
	if(l==r) { return ; }
	int mid=(l+r)>>1;
	build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
	return ;
}

void update(int p,int u) {
	if(t[p].l==t[p].r) { t[p].sum++; return ; }
	int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
	if(u<=mid) update(p<<1,u);
	else update(p<<1|1,u);
	t[p].sum=t[p<<1].sum+t[p<<1|1].sum;
	return ;
}

int ask(int p,int l,int r,int ll,int rr) {
	if(ll<=l && r<=rr) return t[p].sum;
	int mid=(l+r)>>1;
	int ans=0;
	if(ll<=mid) ans+=ask(p<<1,l,mid,ll,rr);
	if(mid<rr) ans+=ask(p<<1|1,mid+1,r,ll,rr);
	return ans;
}

int main() {
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),lsh[i]=a[i],maxx=max(maxx,a[i]);
	
	init();
	
	build(1,0,maxx);
	
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans+=ask(1,0,maxx,a[i]+1,maxx);
		update(1,a[i]);
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}