数论-质数专题

一.判断质数

　　思路：任何一个正整数，他的因数一定是成对出现的，如果一个数 x 有除了1和他本身以外的的其他因数，那么一定是一个因数大于根号x， 另一个小于根号x，所以我们可以根据这个性质，来用试除法进行判断是不是质数。

时间复杂度：O（sqrt（n））

代码：

bool is_prime(int x)
{
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
            return false;
    return true;
}

二.分解质因数

　　思路：任何正整数，都可以表示成 X = P1^a * P2^b * .... * Pn^m， 其中P1 P2 Pn都是质数，也就说在自然界中，质数是原子级别的，任何一个数都可以用质数表示，由此可以推出任何一个正整数最多只有一个大于sqrt（x）的质因数（这是一条性质）

时间复杂度：O(sqrt(n))

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        int a; cin >> a;
        //任何一个正整数最多只有一个大于根号a的质因数
        for(int i = 2;i <= a / i;++i){
            if(a % i == 0){//i 一定是质数, 因为从2到i-1之间没有一个数是a的因数，a又是i的倍数，所以从2到i-1没有一个数是i的因数，所以i是质数
                int s = 0;//i的指数
                while(a % i == 0) a = a / i, ++s;//把i除干净
                cout << i << " " << s << endl;
            }
        }
        if(a > 1) cout << a << " " << 1 << endl;//因为可能有大于根号a的质因数
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

三.筛质数

　　思路：有三种方法，分别是朴素筛法，埃式筛法，线性筛法

朴素筛法：

　　从2到n枚举每个数 i ， 然后把 i 的所有倍数都删掉，如果枚举到某个数p， p没有被删掉，说明从2到p-1之间没有p的因数，所以可以证明p一定是质数，这个算法的缺点是会重复删除，比如， 12，在2的时候删除一次，在3的时候也被删除，由此可见会出现冗余的情况。

时间复杂度：O(nlog(n))

代码：

int cnt;
int flag[N], prim[N];
//朴素筛法 O(nlog(log(n)))
void get_prime1(int n){
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        if(!flag[i])//i 没有删除
            prim[++cnt] = i;//prim里存的是所有质数
        //用来删除当前所有数的倍数
        for(int j = i+i;j <= n;j += i)
            flag[j] = true;
    }
}

埃式筛法：

　　和朴素筛法不同的就是删除所有质数的倍数　

时间复杂度： O(nlog(log(n)))

代码：

//埃式筛法 O(nlog(log(n)))
void get_prime2(int n){
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        if(!flag[i]){//i 没有删除
            prim[++cnt] = i;//prim里存的是所有质数
            //用来删除当前所有质数的倍数
            for(int j = i+i;j <= n;j += i)
                flag[j] = true;
        }
    }
}

线性筛法：

　　每一个和数都有一个最小质因数，所以我们可以用每一个和数的最小质因数来删除这个和数，所以可知不会重复删除，但是代码不太好理解，背熟

时间复杂度：O(n)

代码：

//线性筛法On
void get_prime3(int n){
    for(int i = 2;i <= n;++i){
        if(!flag[i])prim[++cnt] = i;
        for(int j = 1;prim[j] <= n/i;++j){
            flag[i*prim[j]] = true;//pj 一定是 i * pj的最小质因数，
            if(i % prim[j] == 0)break;
        }
    }    
}