• [网络流24题] 最长递增子序列 (最多不相交路径---网络最大流)


    731. [网络流24题] 最长递增子序列
    ★★★☆   输入文件:alis.in   输出文件:alis.out   简单对比
    时间限制:1 s   内存限制:128 MB
    
    «问题描述:
    给定正整数序列x1,..., xn。
    (1)计算其最长递增子序列的长度s。
    (2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的递增子序列。
    (3)如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn,则从给定序列中最多可取出多少个长
    度为s的递增子序列。
    «编程任务:
    设计有效算法完成(1)(2)(3)提出的计算任务。
    «数据输入:
    由文件alis.in提供输入数据。文件第1 行有1个正整数n(n<=500),表示给定序列的长度。接
    下来的1 行有n个正整数x1,..., xn。
    «结果输出:
    程序运行结束时,将任务(1)(2)(3)的解答输出到文件alis.out中。第1 行是最长
    递增子序列的长度s。第2行是可取出的长度为s 的递增子序列个数。第3行是允许在取出
    的序列中多次使用x1和xn时可取出的长度为s 的递增子序列个数。
    输入文件示例 输出文件示例
    alis.in
    4
    3 6 2 5
    
    alis.out
    2
    2
    3
    

    算法讨论:

    首先求出dp[i],表示1 ... i的最长不降子序列的长度。(本来是严格递增的,但是数据出挫了,成了不降了)
    然后我们可以知道最长的不降子序列的长度 K,这是第一问的答案。
    接下来把每个i拆点,拆成<i, a> <i, b>
    对于每个i,
    如果有dp[i] = K,那么就insert(<i,b>, T, 1)的边。
    如果有dp[i] = 1, 那么就insert(S, <i, a>, 1)的边。
    然后insert(<i, a>, <i, b>, 1)的边。
    对于每一对 i < j,
    如果 dp[j] == dp[i] + 1 && a[i] <= a[j],那么就insert(<i, b>, <j, a>, 1)的边。
    跑出的最大流就是第二问的答案。
    对于第三问,我们只要把第二问中对于<1> <n>的所有连边方式的容量都改成inf即可。
    黄学长说这个是分层图的思想,然后边的容量就是对取的次数的限制,
    由于第三问中x1 xn可以多次取,所以就把容量限制变成inf,相当于取消了次数限制。
    还要一个小细节就是如果第三问中流出的流量是 > n的,就输出n。
    这是因为可以无限的用x1 和 xn来构造最长的上升序列。
    总感觉这个题哪里怪怪的。

    代码:

    #include <cstdlib>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <vector>
    
    using namespace std;
    const int N = 1000 + 5;
    const int oo = 0x3f3f3f3f;
    
    struct Edge {
    	int from, to, cap, flow;
    	Edge(int u = 0, int v = 0, int c = 0, int f = 0) :
    		from(u), to(v), cap(c), flow(f) {}
    };
    
    struct Dinic {
    	int nn, mm, s, t;
    	int dis[N], cur[N], que[N * 10];
    	bool vis[N];
    	vector <Edge> edges;
    	vector <int> G[N];
    	
    	void clear() {
    		for(int i = 0; i <= nn; ++ i) G[i].clear();
    		edges.clear();
    	}
    	void add(int from, int to, int cap) {
    		edges.push_back(Edge(from, to, cap, 0));
    		edges.push_back(Edge(to, from, 0, 0));
    		mm = edges.size();
    		G[from].push_back(mm - 2);
    		G[to].push_back(mm - 1);
    	}
    	bool bfs() {
    		int head = 1, tail = 1;
    		memset(vis, false, sizeof vis);
    		dis[s] = 0; que[head] = s; vis[s] = true;
    		while(head <= tail) {
    			int x = que[head];
    			for(int i = 0; i < (signed) G[x].size(); ++ i) {
    				Edge &e = edges[G[x][i]];
    				if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
    					dis[e.to] = dis[x] + 1;
    					vis[e.to] = true;
    					que[++ tail] = e.to;
    				}
    			}
    			++ head;
    		}
    		return vis[t];
    	}
    	int dfs(int x, int a) {
    		if(x == t || a == 0) return a;
    		int flw = 0, f;
    		for(int &i = cur[x]; i < (signed) G[x].size(); ++ i) {
    			Edge &e = edges[G[x][i]];
    			if(dis[e.to] == dis[x] + 1 && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {
    				e.flow += f; edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;
    				a -= f; flw += f;
    				if(!a) break;
    			}
    		}
    		return flw;
    	}
    	int maxflow(int s, int t) {
    		this->s = s; this->t = t;
    		int flw = 0;
    		while(bfs()) {
    			memset(cur, 0, sizeof cur);
    			flw += dfs(s, oo);
    		}
    		return flw;
    	}
    }net;
    
    int n, S, T;
    int a[N], dp[N];
    
    #define stone_
    
    int main() {
    #ifndef stone_
    	freopen("alis.in", "r", stdin);
    	freopen("alis.out", "w", stdout);
    #endif
    
    	scanf("%d", &n);
    	S = 0; T = (n << 1) | 1; net.nn = T;
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
    	dp[n] = 1;
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
    		dp[i] = 1;
    		for(int j = 1; j < i; ++ j)
    		  if(a[i] >= a[j])
    		    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    	}
    	int result = 0;
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i) result = max(result, dp[i]);
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
    		if(dp[i] == result) net.add(i + n, T, 1);
    		if(dp[i] == 1) net.add(S, i, 1);
    		net.add(i, i + n, 1);
    	}
    	for(int i = 1; i <= n ; ++ i) 
    	  for(int j = i + 1; j <= n; ++ j)
    			if(j != i) if(dp[j] == dp[i] + 1 && a[i] <= a[j])
    				  net.add(i + n, j, 1);
    	printf("%d
    %d
    ", result, net.maxflow(S, T));
    	net.clear();
    	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
    		int v = 1;
    		if(i == 1 || i == n) v = oo;
    		if(dp[i] == result) net.add(i + n, T, v);
    		if(dp[i] == 1) net.add(S, i, v);
    		net.add(i, i + n, v);
    	}
    	for(int i = 1; i <= n ; ++ i)
    	  for(int j = i + 1; j <= n; ++ j)
    			if(j != i) if(dp[j] == dp[i] + 1 && a[i] <= a[j])
    				  net.add(i + n, j, 1);
    	int ans = net.maxflow(S, T);
    	if(ans > n) printf("%d
    ", n);
    	else printf("%d
    ", ans);
    	
    #ifndef stone_
    	fclose(stdin); fclose(stdout);
    #endif
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/sxprovence/p/5408993.html
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