算法的时间、空间复杂度详解

一、算法

　　1、算法是对待定问题求解步骤的一种描述

　　2、衡量算法的指标：

　　　　时间复杂度：执行这个算法需要消耗多少时间，即算法计算执行的基本操作次数

　　　　空间复杂度：这个算法需要消耗多少空间，即算法在运行过程中临时占用存储空间大小的度量，强调的是辅助空间的大小（对数据进行操作的工作单元和存储一些计算的辅助单元），而不是指所有数据所占用的空间

　　3、同一个问题可以用不同的算法解决，而一个算法的优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于为特定的问题选择合适的算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑

　　　　算法在时间的高效性和空间的高效性之间通常是矛盾的，通常我们会假设程序运行在足够大的内存中，更多地去探究时间复杂度

二、时间复杂度

　　常见的时间复杂度有：常数阶O(1)，对数阶O(log₂n)，线性阶O(n)，线性对数阶O(nlog₂n)，平方阶O(n²)，立方阶O(n³)， k次方阶O(n^k)，指数阶O(2ⁿ)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

     计算时间复杂度

•   去掉运行时间中的所有加法常数。

•   只保留最高阶项。

•   如果最高阶项存在且不是1，去掉与这个最高阶相乘的常数得到时间复杂度

　　1、常数阶

int sum = 0, n = 100;       /*执行一次*/  
sum = (1 + n) * n / 2;      /*执行一次*/  
printf("%d",sum);           /*执行一次*/  

　　2、对数阶

int count = 1;        
while (count < n){  
   count = count * 2;  
  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
}  

　　 由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。 也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。 由2^x=n 得到x=log2n。 所以这个循环的时间复杂度为O(log2n)。　

　　3、线性阶

int i;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
}  

　　4、平方阶

int i, j;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    for(j = 0; j < n; j++){  
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
    }  
}  

　　

int i, j;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    for(j = i; j < n; j++){   /*注意j = i而不是0*/  
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
    }  
}  

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:

　　5、立方阶

int i, j;        
for(i = 1; i < n; i++)  
    for(j = 1; j < n; j++)  
        for(j = 1; j < n; j++){  
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  
        }  

三、空间复杂度

　　1、递归情况

int BinarySearch2(const int* ptr,const int x,const int left,const int right)  
{  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,left,mid-1);  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,mid+1,right);  
        }  
        return mid;  
    }  
}  

　　递归情况下的空间复杂度：递归深度为N*每次递归的辅助空间大小，如果每次递归的辅助空间为常数，则空间复杂度为O(N)。

　　对于递归的二分查找，递归深度是log2^n，每次递归的辅助空间为常数，所以空间复杂度为O(log2N)（2为底数下标）

　　2、非递归情况

int BinarySearch1(const int* ptr,const int x,const int len)  
{  
    int left=0;  
    int right=len-1;  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            right=mid-1;  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            left=mid+1;  
        }  
        else  
        {  
            return mid;  
        }  
    }  
    return -1;  
}  

　　在这个过程中，辅助空间为常数级别，所以空间复杂度为O(1)