转：Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式

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考慮下列 $n imes n$ 階 Vandermonde 矩陣

$egin{bmatrix} 1&1&cdots&1\ x_1&x_2&cdots&x_n\ x_1^2&x_2^2&cdots&x_n^2\ vdots&vdots&vdots&vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&cdots&x_n^{n-1} end{bmatrix}$ ，

記為 $V_n(x_1,ldots,x_n)$ 或 $V=[v_{ij}]$ ，其中 $v_{ij}=x_j^{i-1}$ 。Vandermonde 矩陣 $V$ 有一個簡單的行列式公式，如下 (見“特殊矩陣 (8)：Vandermonde 矩陣”)：

$displaystyle det V=prod_{1le j<ile n}(x_i-x_j)$ 。

當 $x_1,ldots,x_n$ 互異時， $det V eq 0$ ， $V$ 是可逆矩陣。本文利用伴隨 (adjugate) 矩陣及行列式公式推導 Vandermonde 矩陣 $V$ 的逆矩陣。

令 $mathrm{adj}V$ 為 Vandermonde 矩陣 $V$ 的伴隨矩陣，其 $(i,j)$ 元即為 $v_{ji}$ 的餘因子 (cofactor) $c_{ji}$ ，如下 (見“行列式的運算公式與性質”)：

$c_{ji}=(-1)^{i+j}det ilde{V}_{ji}$ ，

其中 $ilde{V}_{ji}$ 代表移除 $V$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 行後得到的 $(n-1) imes(n-1)$ 階子陣。方陣 $V$ 與其伴隨矩陣 $mathrm{adj}V$ 具有下列關係：

$V(mathrm{adj}V)=(det V)I$ 。

若 $V$ 可逆，即得

$displaystyle V^{-1}=frac{1}{det V}mathrm{adj}V$ 。

以 $n=3$ 為例，

$egin{aligned} mathrm{adj}V&=egin{bmatrix} egin{vmatrix} x_2&x_3\ x_2^2&x_3^2 end{vmatrix}&-egin{vmatrix} 1&1\ x_2^2&x_3^2 end{vmatrix}&egin{vmatrix} 1&1\ x_2&x_3 end{vmatrix}\ -egin{vmatrix} x_1&x_3\ x_1^2&x_3^2 end{vmatrix}&egin{vmatrix} 1&1\ x_1^2&x_3^2 end{vmatrix}&-egin{vmatrix} 1&1\ x_1&x_3 end{vmatrix}\ egin{vmatrix} x_1&x_2\ x_1^2&x_2^2 end{vmatrix}&-egin{vmatrix} 1&1\ x_1^2&x_2^2 end{vmatrix}&egin{vmatrix} 1&1\ x_1&x_2 end{vmatrix} end{bmatrix}\ &=egin{bmatrix} x_2x_3(x_3-x_2)&-(x_3^2-x_2^2)&x_3-x_2\ -x_1x_3(x_3-x_1)&x_3^2-x_1^2&-(x_3-x_1)\ x_1x_2(x_2-x_1)&-(x_2^2-x_1^2)&x_2-x_1 end{bmatrix},end{aligned}$

且 $det V=(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)$ ，也就得到逆矩陣

$V^{-1}=egin{bmatrix} frac{x_2x_3}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}&-frac{x_2+x_3}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}&frac{1}{(x_2-x_1)(x_3-x_1)}\[0.3em] frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}&-frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}&frac{1}{(x_1-x_2)(x_3-x_2)}\[0.3em] frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}&-frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}&frac{1}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)} end{bmatrix}$ 。

運用同樣方法也可以導出 $n imes n$ 階 Vandermonde 矩陣的逆矩陣。下面我們將移除 $V$ 的第 $j$ 列和第 $i$ 行所得的 $(n-1) imes (n-1)$ 階子陣表示為

$ilde{V}_{ji}=egin{bmatrix} 1&1&cdots&1&1&cdots&1\ x_1&x_2&cdots&x_{i-1}&x_{i+1}&cdots&x_n\ vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots\ x_1^{j-2}&x_2^{j-2}&cdots&x_{i-1}^{j-2}&x_{i+1}^{j-2}&cdots&x_n^{j-2}\ x_1^{j}&x_2^{j}&cdots&x_{i-1}^{j}&x_{i+1}^{j}&cdots&x_n^{j}\ vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots&vdots\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&cdots&x_{i-1}^{n-1}&x_{i+1}^{n-1}&cdots&x_n^{n-1} end{bmatrix}=W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 。

對於 $i,j=1,ldots,n$ ，

$c_{ji}=(-1)^{i+j}det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ ，

故逆矩陣的各元為

$displaystyle (V^{-1})_{ij}=frac{c_{ji}}{det V}=(-1)^{i+j}frac{det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)}{det V}$ 。

解出 $V^{-1}$ 的首要工作在於設法化簡 $n-1$ 階行列式 $det W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 和 $n$ 階行列式 $det V$ 。注意， $W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 並非 $n-1$ 階 Vandermonde 矩陣。觀察發現 $W^{(j-1)}_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 和 $V_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 的主要差別在於前者不含 $(x_1^{j-1},ldots,x_{i-1}^{j-1},x_{i+1}^{j-1},ldots,x_n^{j-1})$ ，而後者則缺 $(x_1^{n-1},ldots,x_{i-1}^{n-1},x_{i+1}^{n-1},ldots,x_n^{n-1})$ 。揭開這兩個矩陣的行列式關係即可消去 $(V^{-1})_{ij}$ 的分子和分母所含的行列式。

為了方便，下面我們將長度為 $n-1$ 的序列 $(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 替換為 $(z_1,ldots,z_{n-1})$ 。考慮 $n imes n$ 階 Vandermonde 矩陣 $V_{n}(z_1,ldots,z_{n-1},t)$ ，也就有

$det V_{n}(z_1,ldots,z_{n-1},t)=egin{vmatrix} 1&1&cdots&1&1\ z_1&z_2&cdots&z_{n-1}&t\ z_1^2&z_2^2&cdots&z_{n-1}^2&t^2\ vdots&vdots&vdots&vdots&vdots\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&cdots&z_{n-1}^{n-1}&t^{n-1} end{vmatrix}$ 。

利用 Vandermonde 矩陣的行列式公式，區分兩種情況： $ile n-1$ 和 $i=n$ ，立得

$displaystyleegin{aligned} det V_{n}(z_1,ldots,z_{n-1},t)&=left(prod_{1le j<ile n-1}(z_i-z_j) ight)cdotprod_{1le jle n-1}(t-z_j)\ &=det V_{n-1}(z_1,ldots,z_{n-1})cdotprod_{1le jle n-1}(t-z_j),end{aligned}$

以下稱為第一表達式。另一方面，針對 $V_{n}(z_1,ldots,z_{n-1},t)$ 的最末行計算 Laplace 展開式 (見“行列式的運算公式與性質”)，可得

$egin{aligned} det V_{n}(z_1,ldots,z_{n-1},t)&=egin{vmatrix} 1&1&cdots&1\ z_1&z_2&cdots&z_{n-1}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ z_1^{n-2}&z_2^{n-2}&cdots&z_{n-1}^{n-2} end{vmatrix}t^{n-1}-egin{vmatrix} 1&1&cdots&1\ vdots&vdots&vdots&vdots\ z_1^{n-3}&z_2^{n-3}&cdots&z_{n-1}^{n-3}\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&cdots&z_{n-1}^{n-1} end{vmatrix}t^{n-2}\ &~~+cdots+(-1)^{n+1}egin{vmatrix} z_1&z_2&cdots&z_{n-1}\ z_1^2&z_2^2&cdots&z_{n-1}^2\ vdots&vdots&vdots&vdots\ z_1^{n-1}&z_2^{n-1}&cdots&z_{n-1}^{n-1} end{vmatrix}\ &=det W_{n-1}^{(n-1)}(z_1,ldots,z_{n-1})cdot t^{n-1}-det W_{n-1}^{(n-2)}(z_1,ldots,z_{n-1})cdot t^{n-2}\ &~~+cdots+(-1)^{n-1}det W_{n-1}^{(0)}(z_1,ldots,z_{n-1}),end{aligned}$

此為第二表達式。利用基本對稱函數 (elementary symmetric function，見“特徵多項式預藏的訊息”)：

$displaystyle egin{aligned} S_0(z_1,ldots,z_{n-1})&=1\ S_1(z_1,ldots,z_{n-1})&=z_1+cdots+z_{n-1}\ S_2(z_1,ldots,z_{n-1})&=sum_{1le p<qle n-1}z_pz_q\ vdots&\ S_k(z_1,ldots,z_{n-1})&=sum_{1le p_1<p_2<cdots<p_kle n-1}z_{p_1}z_{p_2}cdots z_{p_k}\ vdots&\ S_{n-1}(z_1,ldots,z_{n-1})&=z_1cdots z_{n-1},end{aligned}$

不難驗證

$displaystyleegin{aligned} prod_{1le jle n-1}(t-z_j)&=S_0(z_1,ldots,z_{n-1})t^{n-1}-S_1(z_1,ldots,z_{n-1})t^{n-2}\ &~~+cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}(z_1,ldots,z_{n-1}),end{aligned}$

將上式代入第一表達式，再與第二表達式比較各項係數，可推得

$det W^{(k)}_{n-1}(z_1,ldots,z_{n-1})=det V_{n-1}(z_1,ldots,z_{n-1})cdot S_{n-1-k}(z_1,ldots,z_{n-1})$ ，

其中 $k=0,1,ldots,n-1$ 。

利用上面得到的等式，以 $j-1$ 取代 $k$ ， $(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ 替換 $(z_1,ldots,z_{n-1})$ ，餘因子 $c_{ji}$ 可表示為

$c_{ji}=(-1)^{i+j}det V_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)cdot S_{n-j}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)$ ，

再化簡 $V^{-1}$ ，如下：

$displaystyleegin{aligned} (V^{-1})_{ij}&=(-1)^{i+j}frac{det V_{n-1}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)}{det V_n(x_1,ldots,x_n)}S_{n-j}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)\ &=(-1)^{i+j}{S_{n-j}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)}igg/left(prod_{1le kle i-1}(x_i-x_k)prod_{i+1le kle n}(x_k-x_i) ight)\ &=(-1)^{j+1}{S_{n-j}(x_1,ldots,x_{i-1},x_{i+1},ldots,x_n)}igg/prod_{1le kle natop k eq i}(x_k-x_i)\ &=(-1)^{j+1}{sum_{1le p_1<cdots<p_{n-j}le natop p_1,ldots,p_{n-j} eq i}x_{p_1}x_{p_2}cdots x_{p_{n-j}}}igg/{prod_{1le kle natop k eq i}(x_k-x_i)},end{aligned}$

最後一個步驟寫出基本對稱函數的完整表達式。

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Vandermonde 矩陣的逆矩陣公式