(S1). 旋转曲面
设曲面(Phi)由曲线(gamma:z=f(x))绕(z)轴旋转，从而曲面方程为：(z=f(sqrt{x^2+y^2})=f(r), r=sqrt{x^2+y^2})，这时曲面的第一基本形式为：
[E=1+(xf'/r)^2, G=1+(yf'/r)^2, F=xy(f')^2/r^2, EG-F^2=1+(f')^2]
因为曲面是旋转对称的，我们只要在(y=0)平面上考虑即可，此时(E=1+(f')^2,F=0,G=1)，
[L=frac{f''}{sqrt{1+(f')^2}}, M=0, N=frac{f'}{xsqrt{1+(f')^2}}]
曲面的Gauss曲率为
[K=frac{f''f'}{x[1+(f')^2]^2}]
其主曲率分别为：
[k_1=frac{f''}{[1+(f')^2]^{3/2}},qquad k_2=frac{f'}{xsqrt{1+(f')^2}}]
容易看出，(k_1)即为(gamma)的曲率，(k_2)的意义可如下解释：在(xOz)平面内过(P(x,f(x)))做(gamma)的垂线，其与(z)轴交点为(Q)，则(|k_2|=1/|PQ|)。
对于旋转曲面，存在参数化(mathbf{r}(u,v))使得(E=1,F=0,G=G(u))，事实上，我们只要取(u)为曲线(gamma)的弧长参数即可。
有时，我们将曲线(gamma)表示为(x=phi(z))是方便的，此时曲面的Gauss曲率为
[K=-frac{phi''}{phi[1+(phi')^2]^2}]
下面，我们试图找出所有常Gauss曲率(K_0)的旋转曲面：
[K_0==-frac{phi''}{phi[1+(phi')^2]^2}Rightarrow-K_0phi^2=-frac{1}{1+(phi')^2}+c]
（1）若(K_0>0)，初始条件可设为(phi(0)=x_0,phi'(0)=0)，此时(c=1-K_0x_0^2)，从而上述方程化为
[(phi')^2=frac{-K_0(phi^2-x_0^2)}{1+K_0(phi^2-x_0^2)}]
该方程的解(phi)关于变量(z)为偶函数，对于(z<0)，方程可写为：
[phi'=frac{sqrt{K_0(x_0^2-phi^2)}}{sqrt{1+K_0(phi^2-x_0^2)}}]
该方程的解可以参数化为
[x(ar{u})=x_0cos(sqrt{K_0}ar{u}),quad z(ar{u})=int_0^{ar{u}}sqrt{1-x_0^2K_0sin^2(sqrt{K_0}t)}dt]
下面分三种情形考虑：
1. (x_0=frac{1}{sqrt{K_0}})，此时(x(ar{u})=x_0cos(sqrt{K_0}ar{u}),z(ar{u})=x_0sin(sqrt{K_0}ar{u}))，从而(Phi)为球面。
2. (x_0>frac{1}{sqrt{K_0}})，由(phi')的上述表达式知(K_0phi^2>K_0x_0^2-1=a^2>0)知(phi(z)geq|a|)，但(z'(ar{u}))在(ar{u}_1=frac{1}{sqrt{K_0}}arcsinfrac{1}{x_0sqrt{K_0}})处为零。从而我们得到，存在实数
[z_1=int_0^{ar{u}}sqrt{1-x_0^2K_0sin^2(sqrt{K_0}t)}dt]
使得(phi(z))仅在((-z_1,z_1))上有定义，且在此区间上(0<|a|<phi<x_0)。曲面非闭合且同胚于圆柱面。
3. (x_0<frac{1}{sqrt{K_0}})，此时也有(phi<x_0)，而由(K_0x_0^2-1<0)知，存在实数
[z_2=int_0^{frac{pi}{2sqrt{K_0}}}sqrt{1-x_0^2K_0sin^2(sqrt{K_0}t)}dt]
使得(phi(z_2)=0)且(phi'(z_2)=sqrt{frac{K_0x_0^2}{1-K_0x_0^2}}>0)，从而曲面同胚于球面但有两个奇点。
（2）若(K_0<0)，设(c=1)，则原方程化为
[K_0phi^2=-frac{(phi')^2}{1+(phi')^2}]
令(phi'= an t)，则(phi=frac{1}{sqrt{-K_0}}sin t)，从而
[x=frac{1}{sqrt{-K_0}}sin t,qquad z=frac{1}{sqrt{-K_0}}left(cos t+log anfrac{t}{2} ight)+c_1]
再令(c_1=1)，我们得到伪球面：
[x=frac{1}{sqrt{-K_0}}sin ucos v,quad y=frac{1}{sqrt{-K_0}}sin usin v,quad z=frac{1}{sqrt{-K_0}}left(cos u+log anfrac{u}{2} ight),qquad0<u<frac{pi}{2},0leq v<2pi]
(S2). 直纹面和旋转曲面
定义：直纹面是指单参数直线族。设(mathbf{r}_1(u))为空间中正则(C^k(kgeq2))曲线，(mathbf{a}(u))为沿(gamma)的处处非零的(C^k)向量场，这样一般就可形成直纹面(Phi:mathbf{r}_1(u)+vmathbf{a}(u))。若(mathbf{a}'(u) eq0)，则称该直纹面为非圆柱的；对于非圆柱直纹面，如果其直线族均平行于某固定平面（定向平面），则称为Catalan曲面；若Catalan曲面的所有直线族均与一定直线相交，则称为锥形面（该定直线称为锥轴）；如果进一步锥轴与定向平面垂直，则称该锥形面称为直锥形面。
最简单的锥形面是双曲抛物面。
容易看出，直纹面的Gauss曲率为：(K=-frac{M^2}{EG-F^2}leq0)，而(K=0)意味着((mathbf{r}_1'(u),mathbf{a}(u),mathbf{a}'(u))=0)。下面三种情形下(Kequiv0)：
1. (mathbf{r}_1'(u)equiv0)：此时曲面为锥面（去掉顶点）；
2. (mathbf{a}'(u)equiv0)：此时曲面为柱面；
3. (mathbf{r}_1'(u) imesmathbf{a}(u)equiv0)：此时曲面为切线面；
容易证明，Gauss曲率恒为(0)的直纹面必是上述三种情形之一。Gauss曲率为(0)的曲面称作可展曲面，可以证明任意可展曲面必是直纹面！另外，容易证明可展曲面沿着直母线的法向量不变。
最后考虑可展曲面在弧长参数化的基曲线(gamma:mathbf{r}=mathbf{r}_2(u))的邻域上的结构：将曲面(Phi)根据参数(v)的正负分为两个半曲面(Phi_1,Phi_2)，此时曲面的第一基本形式为
[E=1+k^2v^2,qquad F=G=1]
这里(k=k(u))为曲线(gamma)的曲率。
(S3). 凸曲面
(S4). 鞍曲面
定义：(C^2)正则曲面(Phi)称作鞍曲面，如果其Gauss曲率处处非正。
注意到若曲面(Phi)上点(P)处Gauss曲率为负，则曲面位于该点的切平面(T_PPhi)两侧。完备鞍曲面的一个重要特征是其在(mathbb{R}^3)中无界且整个曲面不会落在任何严格凸区域内。然而鞍曲面可以完全落在两个平面之间，简单而有趣的例子是(x=frac{z^2}{1-z^2}(|z|<1))绕(z)轴旋转所得的曲面。
定理：（S.N. Bernstein）若鞍曲面(Phi)由(z=f(x,y),(x,y)inmathbb{R}^2)定义且每个点均有负曲率，则有
[sup_{x,y}|f(x,y)|=infty]
定理：（N.V. Efimov）(mathbb{R}^3)中完备(C^2)正则的鞍曲面的Gauss曲率的最小上界是(0)。
定理：若完备鞍曲面(Phiinmathbb{R}^3)满足(inf|k_1(P)|+inf|k_2(P)|=c>0)，则(Phi)为圆柱，即(k_1(P)equiv0,k_2(P)equiv)常数。
证明：假设(k_1(P)leq0,k_2(P)geq0)且(inf|k_2(P)|=c_1>0)，再假设(K)不恒为零。取(R)使得(R>frac{1}{c})，则平行曲面(Phi(R))的Gauss曲率非负，事实上
[K(P,R)=frac{K(P)}{(1-Rk_1(P))(1-Rk_2(P))}]
这样(Phi(R))可以落在一个落在一个严格凸锥(C)内。取另一个强凸锥(C_1)包含(C)且与(C)中各点的距离均大于(R)，则鞍曲面(Phi)整个位于锥(C)内，这是不可能的。从而(Kequiv0)。
猜想：（J. Milnor）上述命题中的假设可以改为(inf(|k_1(P)|+|k_2(P)|) eq0)。
定理：设(Phiin C^k(kgeq2))为正则凸曲面，设(0leq k_1(P)leq k_2(P))为(P)点主曲率，若(sup k_1(P)<inf k_2(P))，则(Phi)为圆柱，从而(k_1equiv0,k_2equiv c_0>0)。
证明：用反证法，假设(Phi)不是柱面。首先，该曲面不同胚于球面，因为球面上至少有一个脐点。从而我们只要考虑(Phi)同胚于平面，设(c_1=sup k_1(P)>0,c_2=inf k_2(P))，并设(R)满足(frac{1}{c_2}<R<frac{1}{c_1})。下面考虑平行曲面(Phi(R),Phi(-R))：
(Phi(-R))是凸的且包含整个(Phi(R))，而(Phi(R))为正则鞍曲面，这是因为
[K(P,R)=frac{K(P)}{(1-Rk_1(P))(1-Rk_2(P))}]
但这是不可能的，因为鞍曲面不可能落在凸曲面内。