(S1). 曲面的定义
定义：一个联通集(Phiinmathbb{R}^3)称作(2)维曲面，如果对其上任一点(P)，存在(mathbb{R}^3)中以(P)为心的开球(U_P)及连续的单射(psi:U_p ightarrowmathbb{R}^3)使得(psi)将(W=Phicap U_P)映为(mathbb{R}^3)中某个平面(alpha)中的单位圆盘(D_1)。
在平面(alpha) 上引进正交直角坐标(u,v)，使得其原点为圆盘(D_1)的中心。令(phi_P=psi|_{D_1})。此时，(phi_P:D_1 ightarrowmathbb{R}^3)定义了向量函数
[mathbf{r}(u,v)=x(u,v)mathbf{i}+y(u,v)mathbf{j}+z(u,v)mathbf{k}]
该向量值函数称为曲面的参数化。若(x,y,z)关于(u,v)均为(k)次连续可微的，则称曲面(Phi)的这个参数化为(k)次连续可微的。若曲面(Phi)上每点存在邻域具有(k)次连续可微的参数化，则称曲面为(k)次连续可微的，记作(Phiin C^k)。曲面(phiin C^k (kgeq1))称为正则的，如果对任意(PinPhi)，存在(k)次连续可微的参数化(phi_P:D_1 ightarrowmathbb{R}^3)具有极大秩，亦即(mathbf{r}_u imesmathbf{r}_v eqmathbf{0})，这里
[mathbf{r}_u=x_u(u,v)mathbf{i}+y_u(u,v)mathbf{j}+z_u(u,v)mathbf{k},qquadmathbf{r}_v=x_v(u,v)mathbf{i}+y_v(u,v)mathbf{j}+z_v(u,v)mathbf{k}]
定义：设(mathbf{r}=mathbf{r}(u,v))为曲面(Phi)上一点(P)的某邻域的参数化，我们称有序对((u,v))为该邻域的局部坐标系。(Phi)上的曲线(gamma)在该点的局部坐标系下可以定义为(u=u(t),v=v(t),tin[a,b])。
设(phi_1:D_1 ightarrowPhi)为曲面(Phi)的(k)次连续可微的正则参数化，(mathbf{h}:D_P ightarrow D_1)为圆盘(D_P)到(D_1)的具有非零Jacobian (det J)的(k)次连续可微的单射，则(phi_P=phi_1circmathbf{h})也为(k)次连续可微的正则参数化（这里(kgeq1)）。 有时引入新的坐标系使得给定的曲线在新坐标系下变为坐标曲线是方便的，为此，我们需要如下引理：
引理：在曲面(phi)上给定坐标邻域(W)，其上的局部坐标为(u,v)，对于如下两个一阶微分方程：
[A_1(u,v)du+B_1(u,v)dv=0,qquad A_2(u,v)du+B_2(u,v)dv=0]
若存在点(P_0(u_0,v_0))使得
[det J=left|egin{array}{cc}A_1(u_0,v_0)&B_1(u_0,v_0)\A_2(u_0,v_0)&B_2(u_0,v_0)end{array} ight| eq0]
则在(P_0)的某坐标邻域内可以引入新坐标系使得上述微分方程的积分曲线变为坐标曲线。
另外，下面的引理也很常用：
引理：设向量(mathbf{x}=lambda^1mathbf{r}_u+lambda^2mathbf{r}_v,mathbf{y}=mu^1mathbf{r}_u+mu^2mathbf{r}_v)在(P_0(u_0,v_0))点不平行，则存在坐标系(xi,eta)使得(P_0)为坐标原点，且(mathbf{r}_xi=mathbf{x},mathbf{r}_eta=mathbf{y})。
(S2). 切平面
定义：设曲面(Phiin C^k(kgeq1))，则曲面(Phi)上任一点(P)的切平面是指过(P)点且平行于(mathbf{r}_u(P),mathbf{r}_v(P))的平面，与该平面垂直的单位向量称为该点的法向量。
定义：我们称(mathbb{R}^3)中的曲面(Phi)是定向的，如果存在(Phi)上的可微的单位法向量场(mathbf{n}:Phi ightarrowmathbb{R}^3)。
定理：设(P)为正则曲面(Phiin C^1)上的任一点，(alpha)为该点的切平面，(Q)为(Phi)上任一点，设(d)为(P,Q)的距离，(h)为(Q)到(alpha)的距离，则
[lim_{Q ightarrow P}frac{h}{d}=0]
我们用(T_PPhi)表示(P)点的切平面，此时(mathbf{r}_u,mathbf{r}_v)为该切平面在局部坐标系下的基底。
定义：设(alpha)为(mathbf{R}^3)中的平面，(mathbf{e})为其正交单位向量，我们称二元组((alpha,mathbf{e}))为定向平面。
定向曲面的一个作用是我们可以定义曲面的高度函数(f_alpha)：
[f_alpha(P)=langle P_0P,mathbf{e} angle]
(S3). 曲面的第一基本形式
设(Phi)为正则曲面，在局部坐标系((u,v))下切向量基底为(mathbf{r}_u,mathbf{r}_v)，其第一基本形式定义为
[I=ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2]
这里(E=langlemathbf{r}_u,mathbf{r}_u angle,F=langlemathbf{r}_u,mathbf{r}_v angle,G=langlemathbf{r}_v,mathbf{r}_v angle) 。
明显地，一个（连通的）正则(C^1)曲面(Phi)上的任两点均可由可求长的（逐段光滑）曲线连接。这样我们便引入如下的：
定义：设(Gamma(P,Q))表示曲面(Phi)上连接(P,Q)两点的可求长曲线的全体，则(P,Q)的距离定义为
[ ho(P,Q)=inf_{gammainGamma(P,Q)}l(gamma)]
明显地，由该度量诱导的拓扑与曲面在(mathbb{R}^3)中诱导的拓扑是一致的。我们称曲面(Phi)是完备的，如果((Phi, ho))为完备度量空间；称曲面是闭的（紧的），如果((Phi, ho))是紧的度量空间。
定义：两个正则(C^1)曲面(Phi_1,Phi_2)称为等距的，如果存在保持每条可求长曲线长度的满射(mathbf{h}:Phi_1 ightarrowPhi_2)。
定理：若两个正则曲面(Phi_1,Phi_2)可以参数化使得它们的第一基本形式相同，则这两个曲面等距。反过来，若(Phi_1,Phi_2)等距，则两个曲面可以参数化使得它们的第一基本形式相同。
(S4). 曲面的第二基本形式
设(P)为正则曲面(Phiin C^k(kgeq2))上的一点，考虑过(P)点且平行于该点法向量(mathbf{n})及切向量(mathbf{t})的平面(Pi(P,mathbf{t})) ，该平面与曲面在(P)点充分小邻域上的交线为正则曲线(gamma)，记( ilde{k}(P,mathbf{t}))为该曲线在(P)点的曲率，若( ilde{k}(P,mathbf{t}) eq0)，我们记(mathbf{v}(P,mathbf{t}))为(gamma)在(P)点的主法向量，由于(gamma)为平面曲线，故(mathbf{v}(P,mathbf{t})=pmmathbf{n}(P))，我们定义(P)沿切向量(mathbf{t})的法曲率(k(P,mathbf{t}))为
[k(P,mathbf{t})=left{egin{array}{cc} ilde{k}(P,mathbf{t}),&mathbf{v}(P,mathbf{t})=mathbf{n}(P)\0,& ilde{k}(P,mathbf{t})=0\- ilde{k}(P,mathbf{t}),&mathbf{v}(P,mathbf{t})=-mathbf{n}(P)end{array} ight.]
显然，主曲率的符号依赖于法向量的选取，从而其符号无几何意义；但随着切向量(mathbf{t})的变化，主曲率(k(P,mathbf{t}))的符号的变化是具有几何意义的：
（1）若对于所有(mathbf{t}in T_PPhi)，(k(P,mathbf{t}))不变号，则(Phi)在(P)的某邻域上完全在切平面(T_PPhi)的同侧，这样的点称为椭圆点（或凸点）；
（2）若(k(P,mathbf{t}))随(mathbf{t})变化而变号，则(Phi)在(P)的任意邻域均在切平面(T_PPhi)的两侧，这样的点称为双曲点（或鞍点）。
在局部坐标系下，设曲面为(mathbf{r}=mathbf{r}(u,v))，曲线(gamma:mathbf{r}(t)=mathbf{r}(u(t),v(t)))，则在(P)点切向量为(mathbf{t}=u'(0)mathbf{r}_u+v'(0)mathbf{r}_v)，此时
[k(P,mathbf{t})=frac{Lu'(0)^2+2Mu'(0)v'(0)+Nv'(0)^2}{Eu'(0)^2+2Fu'(0)v'(0)+Gv'(0)^2}]
这里(L=langlemathbf{r}_{uu},mathbf{n} angle,M=langlemathbf{r}_{uv},mathbf{n} angle,N=langlemathbf{r}_{vv},mathbf{n} angle)，我们称(II=Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2=-langle dmathbf{r},dmathbf{n} angle)为曲面的第二基本形式。
定理（Meusnier）：设(gamma_1)为曲面(Phiin C^2)上过点(P)且切向量为(mathbf{t})的(C^2)正则曲线，若该曲线在(P)点的曲率(k_1 eq0)，记(mathbf{v}_1)为(P)点的主法向量，当(langlemathbf{v}_1,mathbf{n}(P) angle eq0)时，定义(k_1)的符号与(langlemathbf{v}_1,mathbf{n}(P) angle)相同，并记( heta)为(mathbf{n})与(mathbf{v}_1)的夹角，则有
[k(P,mathbf{t})=k_1cos heta]
设(P)为正则曲面(Phiin C^2)上任一点，则该点沿切向量为(mathbf{t}=lambda^1mathbf{r}_u+lambda^2mathbf{r}_v)的法曲率为
[k(P,mathbf{t})=frac{L(lambda^1)^2+2Mlambda^1lambda^2+N(lambda^2)^2}{E(lambda^1)^2+2Flambda^1lambda^2+G(lambda^2)^2}]
我们定义曲面(Phi)在(P)点的主曲率是上述法曲率函数的极值，取极值时所对应的切向量称为曲面在该点的主向量。明显地，(P)点至多有两个主曲率值(k_1,k_2(k_1leq k_2))，它们满足如下方程：
[(EG-F^2)k^2-(EN+GL-2MF)k+LN-M^2=0]
定义：曲面在(P)点的Gauss曲率和平均曲率分别定义为：
[K(P)=k_1k_2=frac{LN-M^2}{EG-F^2},qquad H(P)=frac{1}{2}(k_1+k_2)=frac{EN+GL-2MF}{2(EG-F^2)}]
定义：曲面上的点(P)称为脐点，如果该点的两个主曲率相等；进一步若该点两个主曲率均为零，则称该点为平点。
明显地，曲面(Phiin C^2)上的点(P)为脐点当且仅当(frac{L}{E}=frac{M}{F}=frac{N}{G})；点(P)为平点当且仅当(L=M=N=0)。一般的椭球面有四个脐点，Caratheodory猜想断言同胚于球面的平面至少有两个脐点（该猜想貌似被证出http://arxiv.org/abs/0808.0851）。
定理：若(P)不是正则曲面(Phiin C^2)的脐点，设(mathbf{t}_1,mathbf{t}_2in T_PPhi)为其两个主向量，则(I(mathbf{t}_1,mathbf{t}_2)=II(mathbf{t}_1,mathbf{t}_2)=0)。
定理：（Euler公式）设(P)为正则曲面(Phiin C^k)上的任一点，(mathbf{t}_1,mathbf{t}_2)为该点两个相互正交的单位主向量，其相应的主曲率分别为(k_1,k_2)。设单位切向量(mathbf{t})与(mathbf{t}_1)的夹角为(phi)，则
[k(P,mathbf{t})=k_1cos^2phi+k_2sin^2phi]
定理：（Rodrigues）正则曲面(Phiin C^k)的法向量(mathbf{n}(P))的沿某个切方向的导数平行于该切方向的充要条件是该方向为(P)点的主方向，且此时比例系数为(-k)，这里(k)为(P)点沿该方向的主曲率。
作为上述定理的应用，我们考虑如下问题：
若正则曲面(Phiin C^k(kgeq3))的法曲率(K(P,mathbf{t}))既不依赖于(P)，又不依赖于(mathbf{t})，则(Phi)为平面或球面的一块连通区域。
事实上，任取(PinPhi)，选取法向量(mathbf{n})使得(K(P,mathbf{t})equiv k_0>0)，设(Pi(P,mathbf{t}))为过(P)且平行于(mathbf{t,n})的平面，(gamma(P,mathbf{t}))为该平面与(Phi)的以(t)为弧长参数的交线。设( au(t), u(t),eta(t))分别为其切向量，主法向量和副法向量，则有
[ au'(t)=k u(t),qquad u'(t)=-k au(t),qquadeta'(t)=0]
而由Rodigues定理我们有
[mathbf{n}'(t)=-k_0 au(t)]
设(mathbf{a}(t)=mathbf{n}(t)- u(t))，则(mathbf{a}(0)=0)，设
[mathbf{a}(t)=c_1(t)eta(t)+c_2(t) u(t)]
从而有
[c_1'(t)eta(t)+c_2'(t) u(t)+c_2(t)(-k au(t))=frac{dmathbf{a}}{dt}=frac{dmathbf{n}}{dt}-frac{d u}{dt}=(k-k_0) au(t)]
比较两边系数得
[k+c_2k-k_0=0,qquad c_1'(t)=c_2'(t)=0]
从而必有(c_1(t)=c_2(t)=0,k(t)=k_0)，故(gamma(P,mathbf{t}))为半径为(frac{1}{k_0})的圆弧，从而曲面为球面。
定义：（平行曲面）设(Phiin C^k(kgeq3))为正则曲面，(mathbf{n}(P))为其单位法向量场，对任意实数(a)，我们构造(Phi(a))如下：对每个(PinPhi)，构造相应(Phi(a))上的点为从(P)出发沿法向量(mathbf{n}(P))（(a>0)）或(-mathbf{n}(P))（(a<0)）移动长度(|a|)线段后的终点(phi(P)inPhi(a))。
下面设(k_1(P,a),k_2(P,a),mathbf{n}(P,a))分别为(Phi(a))在点(phi(P))处的主曲率和法方向，并设
[R_1(P,a)=frac{1}{k_1(P,a)},qquad R_2(P,a)=frac{1}{k_2(P,a)}]
定理：若(frac{1}{a} eq k_1(P)=k_1(P,0),frac{1}{a} eq k_2(P)=k_2(P,0))，则曲面(Phi(a))在(Phi(P))点是正则的，且(mathbf{n}(P,a)=mathbf{n}(P))，在映射(phi)下，(Phi)在(P)点的主曲率向量变为(Phi(a))在(phi(P))点的主曲率向量，且有
[k_1(P,a)=frac{k_1(P)}{1-ak_1(P)},qquad k_2(P,a))=frac{k_2(P)}{1-ak_2(P)},qquad R_1(P,a)=R_1(P)-a,qquad R_2(P,a)=R_2(P)-a]
(S5). 曲面的第三基本形式
设曲面(Phiin C^3)，则曲面第三基本形式定义为
[III=langle dmathbf{n},dmathbf{n} angle=edu^2+2fdudv+gdv^2]
这里(e=langlemathbf{n}_u,mathbf{n}_u angle,f=langlemathbf{n}_u,mathbf{n}_v angle,g=langlemathbf{n}_v,mathbf{n}_v angle)。三个基本形式之间满足关系：
[Kcdot I-2Hcdot II+III=0]
定义：设(D)为正则曲面(Phiin C^2)上的某区域，对任意(Pin D)，我们定义Gauss映射(phi(P)=mathbf{n}(P)in S^2(1))。并定义(omega(D)=iint_DKdS)为区域(D)的积分曲率。
定理：设区域(D)与其Gauss映射下的像(D^*)一一对应，且在区域(D)上Gauss曲率不变号，则有
[|omega(D)|=iint_{D^*}dS_1]
这里(dS_1)为球面上的面积元。
推论：设(PinPhi,K(P) eq0)，(D)为包含(P)的区域，(D^*)为其Gauss映射下的像，则当(D)收缩为(P)点时，(D^*)与(D)的面积比趋于(|K(P)|)。
设(Oinmathbb{R}^3)，令(P(O))为所有过点(O)的定向平面的全体，则集合(P(O))可以由(S^1(O))用自然的方式建立一一对应，并在(P(O))上赋予该对应诱导的拓扑。现设(Phiin C^2)为正则曲面，设(P(Phi,O))为(P(O))中使得高度函数(f_alpha)在(Phi)上至少有一个退化临界点的子集。则(P(Phi,O))在(P(O))上是无处稠密的。事实上，这只要注意到(P_0inPhi)为高度函数(f_alpha)的退化的临界点的充要条件是(T_{P_0}Phiin P(Phi,O))。而在退化临界点处Gauss曲率为零，由球面像的Gauss定理，(P(Phi,O))在(S^1(O))上具有零测度，从而命题成立。
参考文献：V. A. Toponogov. Differential Geometry of Curves and Surfaces. 2004.