写在前面：由于我数学基础不好，加上缺乏生成函数知识，所以这一下午我都处在掉线和非掉线的叠加态。而且我写(LaTeX)很慢，所以笔记相当混乱而且不全面。说白了就是我太菜了听不懂。
1.一般生成函数
直接把序列写成多项式的形式。可以做个背包。
- 形式幂级数：只关心系数，不关心(x)的具体取值。只要运算方便，就可以把(x)取任意值来计算。
显然这个东西是不对的，比如(x=2)就gg了。
但是我们硬点(0<x<1)，它就是对的。
- 例题：求序列({0,1,4,…,n^2,…})的生成函数。
错位相减法去考虑就好。
2.指数生成函数
形如(f(x)=sum frac{a_ix^i}{i!})的东西，卷积的时候会自动生成一个组合数，适合解决排列组合型问题。
(e^x)在零点处的展开就是上述式子，虽然我不知道怎么展开。
把(x=-x)代入第一个式子，然后两项相加。
同理。
- 循环卷积
大概就是卷积之后对下标取模的结果。
FFT的本质就是一维循环卷积，只不过保证(n)（循环节）比较长，所以不会溢出（即，此处不需要取模）。
也可以扩展到二维，需要对两维都DFT一遍，下标取模。甚至可以扩展到(k)维，对每一维都单独做就好了。
- 为了循环卷积，我们需要对长度为循环节的数组做DFT，所以接下来老师讲了一个任意长度DFT的(O(klog k))神仙做法，而且我（几乎）听懂了，但是因为公式太长，我记不下来。出处是myy的paper。
- (n)个点(m)条边的有向图，边权是一个二元组((a_i,b_i))，初始有一个二元组((0,0))，每经过一条边，权值会变为(((x+a_i)mod n, (y+b_i)mod(n-1)))。对每个三元组((i,x,y))，求出从点(i)出发，经过恰好(k)条边回到(i)点，最终权值为((x,y))的方案数。(nleq 22, k leq 10^9)。
显然这是一个二维循环卷积。矩阵快速幂的每个元素看作一个矩阵，乘法定义为二维循环卷积。对每个转移矩阵里的循环卷积矩阵预处理DFT，就能把单次循环卷积的复杂度降为(O(n^2))，再进行矩阵快速幂，总复杂度(O(n^5log k))。
（顺便一提，上面的东西我只能勉强理解，写是不可能写出来的）
- 接下来是一个神题，好像是循环卷积开根，我掉线了。
- (m)个点的图，任意一条长度为(k)的倍数的路径会对答案产生(C(n,len))的贡献，答案对(p)取模。(m leq 10,kleq 1000,p equiv1(mod k),nleq 10^{18})。
每个点加一个自环，这样(C(n,len))就转化成了长度恰好为(n)的路径，且贡献都是(1)。
考虑矩阵快速幂，但是每个点需要维护一个长度为(k)的数组，(f_i)表示长度(equiv i (mod k))，这个数组的乘法定义为循环卷积。
暴力做是(O(m^3k^2log n))，但是可以用我也不会的某种玄妙的插值做出DFT，做到(O(m^3klog n+k^2))。
- 与Polya定理结合：一个(n)个点的环，染成(m)种颜色，要求每种颜色恰好(c_i)个。
发现可以把Polya定理套进去，直接生成函数做就好。
- 牛顿迭代
不会导数，不会Taylor展开，掉线了。
- 多项式求逆/除法/(ln)/(exp)/多点求值/多点插值
左转你谷模板区，请。不过NOI到19年也没有考过FFT，估计这东西学了也没啥用。
- 求(n)的分拆数（不降整数序列之和）。
(O(sqrt n))做法：
对于(a_ileq sqrt n)的情况，可以背包做。
否则，这样的(a_i)最多(sqrt n)个，可以暴力。
(O(n log n))做法：
多项式(ln)，多项式积分，多项式(exp)。
这是什么？不知道。
- 然后又是一道神题，显然我又掉线了。
- 然后又是一道神题，显然我又掉线了。
- 然后又是一道神题，显然我又掉线了。
- 然后又是一道神题，显然我又掉线了。
嗯，不是你的网卡了。