题目：我们把只包含因子2、3和5的数称为丑数(Ugly Number)。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做第一个丑数。
思路：和书上描述的第二个思路一致。首先建立一个大小为N（此问题中，N为1500）的int数组，然后每次求出比当前已知最大丑数M大，且与当前丑数相邻的丑数（所谓相邻，就是指两个丑数之间不包含其他丑数），再把新的丑数放入数组。直到数组满，然后取出数组尾部的最后一个数，即为第N个丑数。
关键问题在于如何求出比当前已知最大丑数大，且与当前丑数相邻的丑数。书上给出的思路是这样的，维护三个指针P2、P3和P5。对于第一个指针P2，指向乘2后恰比M大的位置，并且把这个恰比M大的数字记为M2。使用相应的规则，维护P3、P5的位置，并记录M3、M5。之后比较M2、M3与M5，选择最小的，填入数组中M之后的位置，并把M更新为最新填入的这个数字。
下面讨论一下时间复杂度。首先对于三个指针P2、P3和P5，每次移动时都是从之前的位置开始移动，因此移动的距离只是常数级。各类比较次数也是常数级。主要的时间消耗在于填满整个数组。所以时间复杂度是O(N)。空间复杂度也同样是O(N)，同样地，主要的开销就是这个数组。
下面是我的代码，用C++实现。测试也写在一起了。
#include <iostream.h>
int min(const int a, const int b, const int c){
return a < b ? (a < c ? a : c):(b < c ? b : c);
}
int GetUglyNumber(const int index){
if(index <= 0)
return 0;
int * map = new int[index];
int i = 0;
map[i] = 1;
int p2 = 0, p3 = 0, p5 = 0;
while(i < index - 1){
while (map[p2++] * 2 <= map[i]); //Find the next index of P2
while (map[p3++] * 3 <= map[i]);
while (map[p5++] * 5 <= map[i]);
map[++i] = min(map[--p2] * 2, map[--p3] * 3, map[--p5] * 5);
//Watch out when decide whether the ++/-- opeator is a prefix or a suffix.
}
int ugly = map[i];
delete[] map; //Remember to release the memory.
return ugly;
}
int main()
{
cout << GetUglyNumber(1500) << endl;
return 0;
}
输出的结果是：859963392
More discussion：
1、这个数组占用的空间是6KB，书上也提到了。这是求第1500个丑数的情况。如果求排在更后面的丑数呢？事实是，当你用这个程序求第1691个丑数的时候，还会有输出，这个值是2125764000。但是求第1692个丑数的时候，就会出现程序崩溃(VC6)。我的猜测是，主要问题在于int越界了。
2、开始考虑空间复杂度这个问题的时候，我还在想，如果用bit-map来表示每一个数字，把bit-map初始化为全0，之后如果一个数是丑数，则把相应的比特位置为1。但是随便列一下30之内的丑数，你马上就会发现，丑数在自然数中的分布，是随着自然数的变大而逐渐变稀疏的（稀疏这个词，是借鉴质数在自然数中的分布得来的）。1-10中，只有7不是丑数，11-20中，就只剩下12,15,16,18,20五个丑数了，之后的情况不再详述。现在的问题就是，如果使用int数组存储每一个丑数，那么一个int占32个比特位；如果使用bit-map方式标记丑数，第1500个丑数和第1499个丑数之间的差，是否小于32。如果小于32，那么用bit-map方式是值得的，因为空位很少；但如果大于32，那肯定是得不尝试的。现实很无情，结果也很惨，GetUglyNumber(1499)返回的值是854296875，和上面提到的GetUglyNumber(1500)的输出结果——859963392——一比，竟然有百万数量级的差值。虽然丑数不是均匀分布的，但是这个数量级的差距，直接宣布了bit-map方式的死刑。
3、综上所述，老老实实在堆区的开数组其实是最实在的方法。当int不够用的时候，那就上int64吧。比如要求第5000个丑数，那么使用int64数组，内存开销是8bytes * 5000 = 40KB，说到底也没有多大。不过int64对应的丑数极限在哪，我也不知道，5000只是一个未经验证随意编撰的数字。