12/5/2017 3:39:22 PM
前言
Misra-Gries算法是频繁项挖掘中一个著名的算法。频繁项就是那些在数据流中出现频率最高的数据项。频繁项挖掘，这个看似简单的任务却是很多复杂算法的基础，同时也有着广泛的应用。
对于频繁项挖掘而言，一个简单的想法是，为所有的数据项分配计数器，当一个数据项到达，我们即增加相应计数器的值。但当数据流的规模较大时，出于内存的限制，我们往往不可能为每个数据项分配计数器。而Misra-Gries算法则是以一种清奇的思路解决了这个问题，实现了在内存受限的情况下，以较小的错误率统计数据流中的频繁项。
算法作者
Misra-Gries算法在1982年由华威大学的Misra和Gries提出。
频繁项
我们首先对频繁项进行形式化的定义。
给定一系列数据项，频繁项挖掘的目的只是简单地找到那些出现最频繁的数据项。通常我们定义这个问题为找到那些出现频率超过具体阈值的数据项。
定义1. 给定一个数据流(S)，它包含(n)个数据项(t\_1,cdots,t\_n)，那么一个数据项(i)的频数为(f\_i=|\{j|t\_j=i\}|)。而集合(\{i|f\_i>phi n\})中的元素，我们称为(phi-)频繁项。
例子. 对于数据流(S=(a,b,a,c,c,a,b,d))，有(f\_a=3,f\_b=2,f\_c=2,f\_d=1)。如果设(phi=0.2)，那么频繁项有(a,b)和(c)。
Misra-Gries算法
即使(phi)的值很大，解决这个问题的算法也至少要花费(O(n))的空间。在这种情况下，一个错误率为(epsilon)的近似算法被提出。这就是我们的Misra-Gries算法。它的具体步骤如下：
首先建立一个大小为(k)的数组(T)。
对于数据流中依次到达的项(i)进行如下处理：如果项(i)在数组(T)中，则其对应的计数器(c_i++)；如果项(i)不在数组(T)中，且数组(T)中的元素个数小于(k-1)，则将项(i)加入数组(T)，并为其分配计数器(c_i=1)；其他情况，将数组(T)中所有元素的计数器减1，此时如果数组(T)中存在元素的计数器值为0，则从数组(T)移除这个元素。
当完成对数据流的扫描后，数据(T)中保存的(k’(k’≤k-1))个元素即是数据流中的频繁项。
Python实现
下面使用python3进行实现，其中数组(T)和计数器(c_i)使用字典实现。
def misra_gries(S,k):
for i in S:
if i in c:
c[i]+=1
elif len(c)<k-1:
c[i]=1
else:
for j in list(c):
c[j]-=1
if c[j]==0:
c.pop(j)
print (c)
return list(c)
假设(k=3,S=[1,2,1,4,2,1,5,2])，那么程序的输出结果如下
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
{1: 2, 2: 1}
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
{1: 2, 2: 1}
{1: 1}
{1: 1, 2: 1}
[1, 2]
[Finished in 0.2s]
正确性证明
上面说到了这个算法是一个近似算法，这表明算法输出的结果并不一定是频繁项。Misra-Gries算法的错误率为(epsilon)。
定义2. 给定一个包含(n)个数据项的数据流(S)，上述的(epsilon-)近似算法返回一个集合(F)。对于所有满足(iin F)数据项(i)，都有(f\_i>(phi-epsilon)n)；并且不存在(i otin F)的数据项(i)，使得(f\_i>phi n)。
上面的定义表明，Misra-Gries算法输出的数据项并不一定是频繁项，但是频繁项一定在输出结果之中。后一句便是问题的关键了，它表明Misra-Gries算法可以确保找到数据流中的频繁项。下面我们对这一点进行简要的证明。
定理1. 计数器减一的操作最多执行了(n/k)轮。
证明：当数组(T)中元素的个数等于(k-1)时，才会出现计数器减一的操作。此时，计数器值共减少(k-1)，包括被舍弃的新数据项，计数器值之和共比实际到达的数据项的个数少(k)。由于最后的计数器值之和是大于(0)的，且数据流中数据项的个数为(n)，所以计数器减一的操作最多执行了(n/k)轮。
定理2. 当(k=leftlceilfrac{1}{phi} ight ceil)，所有的(phi-)频繁项都会被Misra-Gries算法检测出。
证明：由定理1可知，计数器减一的操作最多执行了(n/k)轮。因此，算法结束时，数据项(i)计数器的值(c_i)，满足(c_ileq f_ileq c_i+n/k)。对于所有不在数组(T)中的数据项(i)，有(c_i=0)，于是(f_ileq n/kleq phi n)。故所有满足(f_j>phi n)的数据项(j)，即所有的(phi-)频繁项都会被Misra-Gries算法检测出。
参考
[1] Cormode G. Misra-Gries Summaries[M]. Springer US, 2014.
http://dimacs.rutgers.edu/~graham/pubs/papers/encalgs-mg.pdf。