Codeforces 1284E New Year and Castle Building (计算几何)

题目链接

https://codeforces.com/contest/1284/problem/E

题解

我们计算选出 (3) 个点构成三角形覆盖的点数之和，这个值乘以 (frac{(n-4)}{2}) 就是答案。这是因为对于任意一个（凸或凹，根据题意凹的多种凹法只算一次）四边形，从 (4) 个顶点中选出 (3) 个构成三角形的 (4) 种方案中每个被四边形覆盖的点恰好被 (2) 种方案覆盖。
然后就比较套路了，补集转化，枚举一个点求有多少个三角形不包含它，然后其余的点以它为中心按极角排序，枚举最顺时针的那个，算从它的一侧选出两个点的方案数。
不过似乎没发现三角形那个性质大力扫描线也能做，好题->垃圾题？
时间复杂度 (O(n^2log n)).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define mkpr make_pair
#define riterator reverse_iterator
#define y1 Lorem_ipsum_dolor
using namespace std;
 
inline int read()
{
	int x = 0,f = 1; char ch = getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}
	for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}
	return x*f;
}
 
const int mxN = 2500;
struct Point
{
	llong x,y;
	Point() {}
	Point(llong _x,llong _y):x(_x),y(_y) {}
	int quadrant() {return x>0?(y<0):(y<=0);}
} a[mxN+3],b[(mxN<<1)+3];
typedef Point Vector;
Point operator +(Point x,Point y) {return Point(x.x+y.x,x.y+y.y);}
Point operator -(Point x,Point y) {return Point(x.x-y.x,x.y-y.y);}
llong Cross(Vector x,Vector y) {return x.x*y.y-x.y*y.x;}
 
int n;
 
bool cmp_ang(Point x,Point y) {return x.quadrant()^y.quadrant()?x.quadrant()<y.quadrant():Cross(x,y)>0;}
 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%I64d%I64d",&a[i].x,&a[i].y);
	llong ans = 0ll;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=n; j++) b[j] = a[j]-a[i]; swap(b[i],b[1]);
		sort(b+2,b+n+1,cmp_ang);
//		printf("i=%d
",i);
//		for(int j=2; j<=n; j++) printf("(%lld,%lld)
",b[j].x,b[j].y);
		for(int j=2; j<=n; j++) b[n-1+j] = b[j];
		int j,k; llong cur = 0ll;
		for(j=2,k=3; j<=n; j++)
		{
			while(k<=j||Cross(b[j],b[k])>0) {k++;}
			int cnt = j+n-1-k;
//			printf("j=%d k=%d cnt=%d
",j,k,cnt);
			cur += 1ll*cnt*(cnt-1ll)/2ll;
		}
		ans += cur;
	}
	ans = (1ll*n*(n-1ll)*(n-2ll)*(n-3ll)/6ll-ans)*(n-4ll)/2ll;
	printf("%I64d
",ans);
	return 0;
}