AtCoder AGC004F Namori (图论)

题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc004/tasks/agc004_f

题解

神仙题。。

首先考虑树的情况，树是二分图，因此假设我们对二分图进行黑白染色，那么操作就变成了，每次选择两个不同色的点来取反。然后再把黑色视作标记，那么问题就变成了，初始一些点上有标记，每次可以把标记沿着边移动到一个没标记的点，要把标记全部移动到和原来不同的位置上，求最小代价！
然后这个问题的做法就是，首先如果两种颜色个数不同就无解，否则考虑一个下界，对于每一条边而言，它至少要运送标记的次数等于其一端子树内黑白点个数差的绝对值。对所有的边求和就是答案的下界，而我们也能构造出来一种达到这个下界的方案，构造详见官方题解。

然后考虑基环树。当环是奇环和偶环时，其作用不同，因此需要分类讨论。

当环是偶环时，非树边的作用是多了一条运送标记的边。假设这条边运送了(x)个标记（可正可负），那么其所影响的是环上的点，需要最小化的是一个(sum |x-a_i|)的形式，直接取中位数即可。

当环是奇环时，非树边的作用是可以给两个端点的标记同时(+1)或(-1). 显然(+1)和(-1)都出现是不优的，由于操作可逆可以假设是(+1) (否则交换初始状态和终止状态)。在这种情况下，若两种颜色个数奇偶性不同就无解，否则执行这种操作的次数(x)是确定的（因为初始和终止时两种颜色点数确定）。那么就可以认为给这两个端点分别加了(x)个标记，然后再执行树的算法即可。

时间复杂度(O(N))或(O(Nlog N)).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e5;
struct Edge
{
	int nxt,v;
} e[(N<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
bool vis[N+3];
int dep[N+3];
int a[N+3];
int s[N+3];
vector<int> vec;
int n,m,en,au,av,sum;
llong ans;

int absl(int x) {return x<0?-x:x;}

void addedge(int u,int v)
{
	en++; e[en].v = v;
	e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}

void dfs(int u,int prv)
{
	a[u] = dep[u]&1?-1:1; sum += a[u]; s[u] = a[u];
	vis[u] = true;
	for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].v;
		if(v==prv) continue;
		if(vis[v])
		{
			au = u,av = v;
		}
		else
		{
			dep[v] = dep[u]+1;
			fa[v] = u;
			dfs(v,u);
			s[u] += s[v];
		}
	}
}

void dfs2(int u,int prv)
{
	s[u] = a[u];
	vis[u] = true;
	for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].v;
		if(v==prv) continue;
		if(vis[v])
		{
			au = u,av = v;
		}
		else
		{
			dep[v] = dep[u]+1;
			dfs2(v,u);
			s[u] += s[v];
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=m; i++)
	{
		int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
		addedge(u,v); addedge(v,u);
	}
	sum = 0; dep[1] = 0; dfs(1,0);
	if(m==n-1)
	{
		if(sum) {puts("-1");}
		else
		{
			ans = 0ll;
			for(int i=1; i<=n; i++)
			{
				ans += absl(s[i]);
			}
			printf("%lld
",ans);
		}
	}
	else if(m==n)
	{
		if(dep[au]>dep[av]) swap(au,av);
		if((dep[au]^dep[av])&1)
		{
			if(sum) {puts("-1");}
			else
			{
				vec.clear();
				int v = av;
				while(dep[v]>dep[au])
				{
					vec.push_back(-s[v]);
					v = fa[v];
				}
				sort(vec.begin(),vec.end());
				int x = vec[vec.size()>>1];
				a[au] -= x; a[av] += x;
				for(int i=1; i<=n; i++) vis[i] = 0;
				dfs2(1,0);
				ans = absl(x);
				for(int i=1; i<=n; i++)
					{
					ans += absl(s[i]);
				}
				printf("%lld
",ans);
			}
		}
		else
		{
			if(absl(sum)&1) {puts("-1");}
			else
			{
				if(sum>0)
				{
					for(int i=1; i<=n; i++) s[i] = -s[i],a[i] = -a[i];
					sum = -sum;
				}
				int x = (-sum)>>1;
				a[au] += x; a[av] += x;
				for(int i=1; i<=n; i++) vis[i] = 0;
				dfs2(1,0);
				ans = x;
				for(int i=1; i<=n; i++)
				{
					ans += absl(s[i]);
				}
				printf("%lld
",ans);
			}
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) fe[i] = vis[i] = fa[i] = 0;
	for(int i=1; i<=en; i++) e[i].v = e[i].nxt = 0;
	en = 0;
	return 0;
}