手动博客搬家: 本文发表于20180919 15:41:25, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/82771387
背景介绍
首先，我是一名菜鸡。
前几天在做bzoj 5283时，经过转化后需要处理这样一个二元函数
(S(x,y)=sum^{x}_{i=1} C^i_y)
其中有(Q)组询问，(xle yle 2.5 imes 10^5, Qle 2.5 imes 10^5).
做法是：我们发现这个函数的重要性质是，假如已知(S(x,y)), 那么我们可以在(O(1))的时间内转移得到(S(x+1,y), S(x-1,y), S(x,y+1), S(x,y-1)).
于是，我们依照莫队的思想，将所有询问离线下来。
对于询问(S(x_1,y_1), S(x_2,y_2)) 按如下的规则进行比较排序：
首先比较(frac{x_1}{sqrt n})与(frac{x_2}{sqrt n})的值，小的在前。
如果这两个值相同的话，再比较(y_1)与(y_2).
从一个询问跳到另一个询问时，我们直接暴力一个一个地把左端点从(x_1)移到(x_2), 右端点从(y_1)移至(y_2).
这样对所有询问排序后 ，我们计算左右端点的移动总距离。假设(Q,n)同阶。
左端点移动距离(T_1): 对于每个大小为(sqrt n)的块，左端点一定要在块内移动。每次移动的距离不超过(sqrt n), 每个块内移动的总次数不超过(n) ((n)个询问), 总移动的距离不超过(nsqrt n). 这是块内的情况，而左端点在块与块之间移动时，每次移动的距离不超过(2sqrt n), 但是由于只有(sqrt n)个块，因此总移动次数不超过(sqrt n), 总距离(O(n)). 综上，左端点移动总距离(O(nsqrt n)).
而右端点呢？更简单：对于左端点在同一个大小为(sqrt n)的块内的询问，右端点是单调右移的，移动总距离不超过(n), 又因为有(sqrt n)个块，因此总距离(O(nsqrt n)).
综上，左右端点移动的总距离为(O(nsqrt n)), bzoj 5283这道题已经在(O(nsqrt n))的复杂度内解决，均摊每次询问(O(sqrt n)).（然而bzoj老爷机毒瘤卡常呜呜呜...）
问题引入——三维莫队
刚才，我们处理的是一个二元函数(S(x,y)), 具有重要的转移性质。现在我们拓展这个问题，假设我们有一个三元函数(f(x,y,z)), 其可以在(O(1))的时间内转移到(f(x-1,y,z), f(x+1,y,z), f(x,y-1,z), f(x,y+1,z), f(x,y,z-1), f(x,y,z+1))这六个值。有(Q)次询问，每次询问一个(f(x,y,z))的值，(x,y,zle n), 是否可以较快速地求出所有询问的答案呢？
假设(Q, nle 4.5 imes 10^4).
个人的想法
仿照二维莫队的思路，我们首先对询问进行排序。
我们来形式化地推一发。
设我们的排序方式是第一关键字(frac{x}{n^a}), 第二关键字(frac{y}{n^b}), 第三关键字(z).
对于(x), 在每个块内移动距离(O(n^a)), 总询问数(O(n)), 总距离(O(n^{1+a})).
对于(y), 当(x)在同一大块内时，(y)每次移动距离(O(n^b)), 共(n)个询问，(O(n^{1+b})). 当(x)不在同一大块内时，有(O(n^{1-a}))个大块，每个大块(y)要移动(n)的距离，因此(O(n^{2-a})). 综上，(y)移动距离(O(n^{max(1+b,2-a)})).
对于(z), 我们考虑(x,y)的块总共会将(n)个询问分成(O(n^{1-a+1-b}))类，对于每一类询问，都要移动(n)的距离，因此(z)移动距离(O(n^{3-a-b})).
然后我们来最优化。首先，为了让复杂度不至于达到(O(n^2)), (3-a-b)必须(lt 2), (a+bgt 1). 而对于(y)的(max(1+b,2-a)), (1+bgt 2-a)等价于(a+bgt 1), 因此恒满足，(y)的复杂度其实就是(O(n^{1+b})).
然后就简单了……(O(n^{1+a}), O(n^{1+b}), O(n^{3-a-b})), 平衡一下，显然(a=b=n^frac{2}{3})时取最优，(O(n^frac{5}{3})), 单次均摊(O(n^frac{2}{3})).
后记
重申，本人弱鸡，刚刚从bzoj 5283这道题里得到的启发，推了一发写了此文，若有错误敬请大佬们指出，感激不尽。
关于三维莫队问题，目前没有任何一个人跟我讨论过，纯粹是我自己的一点想法，也没有找其他人检验过（我好菜啊），也没有专门看过此类课题的论文，因此文章内容很可能有错误之处。不过刚才推了这么一大串，最后的核心思想就是一个，通过排序平衡三个端点的移动距离。刚才的内容如果正确，还可以推广到更高维的情况，但是更高维大概只有理论价值，实际上并不会比(O(n^2))暴力快到哪里去。我相信，这个简简单单的问题早已被之前的大佬们解决，我只是发表一点自己的思考而已。如果哪位大佬在这个问题上有更优秀的做法，敬请指出，谢谢。