BZOJ_3675_[Apio2014]序列分割_斜率优化

BZOJ_3675_[Apio2014]序列分割_斜率优化

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

---

首先能够证明分割时顺序不影响答案。

设两个分割点i，j。左端点为k，右端点为l。

那么先切i再切j的答案就是(s[l]-s[i])*(s[i]-s[k-1])+(s[l]-s[j])*(s[j]-s[i])

先切j再切i的答案就是(s[l]-s[j])*(s[j]-s[k-1])+(s[j]-s[i])*(s[i]-s[k-1])

展开后发现是相等的。

设F[i][j]表示前j个数分割i次的最高得分。

考虑从右往左切，但从左往右DP F[i][j]=max(F[i][j],F[i-1][k]+s[k]*(s[j]-s[k]))

然后推出斜率式子s[j]>(F[i][k]-s[k]*s[k]-F[i][l]+s[l]*s[l])/(s[l]-s[k])

但是这个式子当s[l]=s[k]时会出现除0操作，然后发现0对这个序列没有影响。

于是预处理把所有的零踢掉即可。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef double f2;
typedef long long ll;
#define N 100050
int n,k;
int a[N],Q[N];
ll f[2][N],s[N];
f2 slope(int i,int p,int l) {
    return (1.0*f[i&1][p]-s[p]*s[p]-f[i&1][l]+s[l]*s[l])/(s[l]-s[p]);
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    int i,j,l,ln=0;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]) {
            a[++ln]=a[i];
            s[ln]=s[ln-1]+a[ln];
        }
    }
    n=ln;
    //for(i=1;i<=n;i++) f[1][i]=s[i]*(s[n]-s[i]);
    /*for(i=2;i<=k;i++) {
        for(j=1;j<=n;j++) {
            for(l=0;l<j;l++) {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][l]+(s[j]-s[l])*(s[n]-s[j]));
            }
        }
    }*/
    for(i=1;i<=k;i++) {
        int L=1,R=0;
        for(j=1;j<=n;j++) {
            while(L<R&&slope(i-1,Q[L],Q[L+1])<s[j]) L++;
            l=Q[L];
            f[i&1][j]=f[i-1&1][l]+(s[j]-s[l])*s[l];
            while(L<R&&slope(i-1,Q[R],j)<slope(i-1,Q[R],Q[R-1])) R--;
            Q[++R]=j;
        }
    }
    printf("%lld
",f[k&1][n]);
}