紫书 习题 10-18 UVa 10837 (欧拉函数变形）

这道题很巧妙，要把式子变一下

phi(n) = n * (1 - 1 / p1) * (1 - 1 / p2)……(1 - 1 / pr)

          = n * ((p1-1) / p1) * ((p1-2) / p2)  ……((pr-2) / pr)

         = p1^k1 * p2^k2……pr^kr    * ((p1-1) / p1) * ((p1-2) / p2)  ……((pr-2) / pr)

         = p1^(k1-1) * (p1-1) * p2^(k2-1) * (p2-1)……pr^(kr-1) * (pr-1)

因为幂可以为0，所以不能直接质因数分解，要枚举枚举p1-1

计算的过程中phi(n)第一次除以(pr-1),答案就乘以pr，后来 phi(n)每次都是除以pr

答案乘以pr。因为n = p1^k1 * p2^k2……pr^kr，而phi(n) =  p1^(k1-1) * (p1-1) * p2^(k2-1) * (p2-1)……pr^(kr-1) * (pr-1)

很多博客没有把这里讲清楚。

另外素数表打到根号10的八次方，也就是一万就可以了，最后一个单独暴力判断，还要注意之前没有用过。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i < (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 11234;
bool is_prime[MAXN], vis[MAXN];
vector<int> prime, g;
int ans;
 
void get_prime() 
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false;
	REP(i, 2, MAXN)
	{
		if(is_prime[i]) prime.push_back(i);
		REP(j, 0, prime.size())
		{
			if(i * prime[j] > MAXN) break;
			is_prime[i * prime[j]] = false;
			if(i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

void init(int n)
{
	ans = 2e9;
	g.clear();
	REP(i, 0, prime.size())
		if(n % (prime[i] - 1) == 0)
			g.push_back(prime[i]);
}

bool judge(int sum)
{
	REP(i, 0, prime.size())
	{
		if(prime[i] * prime[i] > sum) break;
		if(sum % prime[i] == 0) return false;
	}
	REP(i, 0, prime.size())
		if(vis[i] && prime[i] == sum)
			return false;
	return true;
}

void dfs(int p, int sum, int tot)
{
	if(p == prime.size())
	{
		if(sum == 1) ans = min(ans, tot);
		else if(judge(sum + 1))
			ans = min(ans, tot * (sum + 1));
		return;
	}
	
	dfs(p + 1, sum, tot);
	if(sum % (prime[p] - 1)) return;
	vis[p] = 1;
	sum /= prime[p] - 1;
	tot *= prime[p];
	dfs(p + 1, sum, tot);
	while(sum % prime[p] == 0)
	{
		sum /= prime[p];
		tot *= prime[p];
		dfs(p + 1, sum, tot);
	}
	vis[p] = 0;	
}

int main()
{
	get_prime();
	int n, kase = 0;
	while(~scanf("%d", &n) && n)
	{
		init(n);
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		dfs(0, n, 1);
		printf("Case %d: %d %d
", ++kase, n, ans);
	}
	return 0;
}