今天在博文C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵(5)看了一个关于素数的算法题,如下:
素数
在世博园某信息通信馆中,游客可利用手机等终端参与互动小游戏,与虚拟人物Kr. Kong 进行猜数比赛。
当屏幕出现一个整数X时,若你能比Kr. Kong更快的发出最接近它的素数答案,你将会获得一个意想不到的礼物。
例如:当屏幕出现22时,你的回答应是23;当屏幕出现8时,你的回答应是7;
若X本身是素数,则回答X;若最接近X的素数有两个时,则回答大于它的素数。
输入:第一行:N 要竞猜的整数个数
接下来有N行,每行有一个正整数X
输出:输出有N行,每行是对应X的最接近它的素数
样例:输入
4
22
5
18
8
输出
23
5
19
7
看到这个算法题我们首先要做的就是实现一个函数,来求出一个数是否是质数。下面我们来简单的实现一下:
bool isPrime(int num) { if(num < 2) return false; for(int i=2; i*i<num; ++i){ if(num % i == 0) return false; } return true; }
由于这个函数在算法中会多次用到,我们用下面的测试来查看这个基本函数的效率
void test(){ clock_t start = clock(); for(int i=1; i <= 100000; ++i){ isPrime(1000000007); } clock_t end = clock(); cout << endl << static_cast<double>(end - start)/CLOCKS_PER_SEC << endl; }
运行,得到结果12.158
因为期间我们可能会进行重复的计算,对这个问题我一开始想到的解决方法就是建立一个质数表,我们可以直接通过查找表来快速的确定一个数是否是质数。当要判断的数很大时,需要占用很大的空间来建表,为了节约空间,我将每一位都充分用上了。
#define GETNUM(x) psum[((x)>>3)]&(1<<(((x)&7)-1)) #define SETNUM(x) psum[((x)>>3)] &= (~(1<<(((x)&7)-1))) bool isPrime(int num) { if(num < 2) return false; int size = (num>>3)+1; unsigned char *psum = new unsigned char[size]; memset(psum, 0xFF, size); for(int i=2; i*i<num; ++i){ if(GETNUM(i)){ for(int j=i<<1; j<=num; j+=i){ SETNUM(j); } } } bool result = GETNUM(num); delete [] psum; return result; }
因为质数表建立起来以后,之后的判断直接取值就行了,所以我们就不做循环了,直接看它运行一次的时间,竟然用了29.853!耗时太长了,建这个表的时间可以进行20万次试除法判断了。
在经过一定的分析后,我将这个过程进行了一下优化
#define GETNUM(x) psum[((x)>>3)]&(1<<(((x)&7)-1)) #define SETNUM(x) psum[((x)>>3)] &= (~(1<<(((x)&7)-1))) bool isPrime2(int num) { if(num < 2) return false; int size = (num>>3)+1; unsigned char *psum = new unsigned char[size]; memset(psum, 0xFF, size); for(int j=4; j<num; j+=2){ SETNUM(j); } for(int i=3; i*i<num; ++i){ if(GETNUM(i)){ int step = i<<1; for(int j=i*i; j<=num; j+=step){ SETNUM(j); } } } bool result = GETNUM(num); delete [] psum; return result; }
上面的优化,我先是直接将2的倍数都淘汰掉,接着,基于在进行i的倍数判断时,所有i的i-1以下的倍数都已经被淘汰掉了这一点,直接从i的平方开始淘汰,而且基于偶数倍能被2整除这一点,将步长调整为i*2.
经过优化,时间缩短为16.429,可是这个结果明显是不能让人满意滴。。。
这时我参看了一下博文一个超复杂的间接递归——C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵(6),发现只是计算部分质数表,再利用质数表来加快质数的试除法这个方案很有可行性,于是赶紧行动。先进行预算,再进行试除法判断质数。
void precalc(int size, int * primes, int &pnum) { bool *psum = new bool[size+1]; for(int j=4; j<=size; j+=2){ psum[j] = false; } memset(primes, 0, size * sizeof(int)); primes[0] = 2; pnum = 1; int i=3; for(; i*i<=size; ++i){ if(psum[i]){ primes[pnum] = i; ++pnum; int step = i<<1; for(int j=i*i; j<=size; j+=step){ psum[j] = false; } } } for(;i<=size; ++i){ if(psum[i]){ primes[pnum] = i; ++pnum; } } delete [] psum; } bool isPrime(int num, const int * primes, int pnum) { for(int i=0; i<pnum; ++i){ if(num % primes[i] == 0) return false; } return true; } void test(){ clock_t start = clock(); const int num = 1000000007; int size = static_cast<int>(sqrt(static_cast<double>(num))); int *primes = new int[size]; int pnum; precalc(size, primes, pnum); for(int i=1; i <= 100000; ++i){ isPrime(num, primes, pnum); } delete [] primes; clock_t end = clock(); cout << endl << static_cast<double>(end - start)/CLOCKS_PER_SEC << endl; }
改进的结果是令人振奋滴,时间缩短为0.021.
解决了素数判断问题,得到想要的算法就很容易了
void precalc(int size, int * primes, int &pnum) { bool *psum = new bool[size+1]; for(int j=4; j<=size; j+=2){ psum[j] = false; } memset(primes, 0, size * sizeof(int)); primes[0] = 2; pnum = 1; int i=3; for(; i*i<=size; ++i){ if(psum[i]){ primes[pnum] = i; ++pnum; int step = i<<1; for(int j=i*i; j<=size; j+=step){ psum[j] = false; } } } for(;i<=size; ++i){ if(psum[i]){ primes[pnum] = i; ++pnum; } } delete [] psum; } bool isPrime5(int num, const int * primes, int pnum) { for(int i=0; i<pnum && primes[i]*primes[i] < num; ++i){ if(num % primes[i] == 0) return false; } return true; } int get_nearest(int num, const int * primes, int pnum) { if(isPrime5(num, primes, pnum)) return num; int len; if(num % 2 == 0){ len = 1; } else{ len = 2; } while(true){ if(isPrime5(num+len, primes, pnum)) return num + len; if(isPrime5(num-len, primes, pnum)) return num - len; len += 2; } } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { cout<<"请输入数据"<<endl; int count; cin>>count; int *data = new int[count]; //最大的一个数 int maxnum = 0; for(int i=0; i<count; i++){ cin>>data[i]; if(maxnum < data[i]){ maxnum = data[i]; } } int size = static_cast<int>(sqrt(static_cast<double>(maxnum))); int *primes = new int[size]; int pnum; precalc(size, primes, pnum); for(int i=0; i<count; i++){ cout<<get_nearest(data[i], primes, pnum)<<endl; } delete [] primes; delete [] data; cin.get(); return 0; }