单调队列学习小结

单调队列学习小结

单调队列：:队列中元素之间的关系具有单调性，而且，队首和队尾都可以进行出队操作，只有队尾可以进行入队操作。
单调队列的常用操作如下：
（1）插入：若新元素从队尾插入后会破坏单调性，则删除队尾元素，直到插入后不再破坏单调性为止，再将其插入单调队列。（这样队列整体始终保持单调，不单调的元素会被逐个删除）
（2）获取最优（最大、最小）值：访问首尾元素。
对于调整最值问题上我们还可以通过重载运算符来进行调整。

我们可以看下面一组例子来加深对单调队列的理解：
例：

//一组数（1，3，2，1，5，6），进入单调不减队列的过程：
1入队，得到队列（1）；
3入队，得到队列（1，3）；
2入队，这时，队尾的的元素3>2，将3从队尾弹出，新的队尾元素1<2，不用弹出，将2入队，得到队列（1，2）；
1入队，2>1，将2从队尾弹出，得到队列（1，1）；
5入队，得到队列（1，1，5）；
6入队，得到队列（1，1，5，6）；

根据单调队列的性质，我们很容易想到其单调性能解决的之前的最长上升子序列问题：
我们可以把该序列中的元素全部放到该（单调递增）队列中，然后我们就可以得到最长的上升子序列，最后我们可以对其个数进行统计或者输出。

当然我们也可以将队列的大小进行固定，这样我们就可以得到定长的每个区间，从而可以获得该定长区间的一些性质（最大值或最小值），这样我们就可以求得区间极值。这样复杂度为o(k),相比于我们用朴素算法的枚举来看（复杂度为o(nk)）,要优化很多。

我们对子序列的单调队列使用举个例子：

连续子序列的最大和 HDU3415：
Max Sum of Max-K-sub-sequence
Given a circle sequence A[1],A[2],A[3]…A[n]. Circle sequence means the left neighbour of A[1] is A[n] , and the right neighbour of A[n] is A[1].
Now your job is to calculate the max sum of a Max-K-sub-sequence. Max-K-sub-sequence means a continuous non-empty sub-sequence which length not exceed K.

Input

The first line of the input contains an integer T(1<=T<=100) which means the number of test cases.
Then T lines follow, each line starts with two integers N , K(1<=N<=100000 , 1<=K<=N), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).

Output

For each test case, you should output a line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the minimum start position, if still more than one , output the minimum length of them.

Sample Input

4
6 3
6 -1 2 -6 5 -5
6 4
6 -1 2 -6 5 -5
6 3
-1 2 -6 5 -5 6
6 6
-1 -1 -1 -1 -1 -1

Sample Output

7 1 3
7 1 3
7 6 2
-1 1 1

对于一个连续序列的和，这里可以用前缀和来处理，i —— j 的和就是sum [ j ] - sum [ i - 1 ];（如果成环的话我们可以算前缀和的时候算到2n）
对于同一个序列终点来说（sum[j]确定），起点左边那个元素的前缀和越小，所得到的和越大。所以我们解决问题的关键就是找出[i,j]区间内的一点x使得sum[x]最小。我们结合单调队列：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
const int M = 100001<<1;
int sum[M],q[M];
int main()
{
    int z,n,k;
    scanf("%d",&z);
    while(z--)
    {
        int start,end,max;
        int head,rear;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&sum[i]);
            sum[i+n] = sum[i];
        }
        for(int i=2;i< n+k;i++)
            sum[i] += sum[i-1];
                head = rear = 0;
        q[head] = 0;
        max = INT_MIN;
        for(int i=1;i< n+k;i++)                 //枚举每个区间终点
        {
            while(head<=rear && sum[i-1]<=sum[ q[rear] ])
                rear--;
            q[++rear] = i-1;
            if(q[head]+1 < i-k+1)      //起点如果大于区间范围，删除队首
                head++;
            if(sum[i] - sum[ q[head] ] > max)
            {
                start = q[head]+1;
                end   = i;
                max   = sum[i] - sum[ q[head] ];
            }
        }
        end = end>n ? end%n : end;
        printf("%d %d %d
",max,start,end);
    }
    return 0;
}