【需要解决的问题】
补充无限循环小数可以表示为分数，因此，为有理数
【有理数】
如果一个数字可以表示为两个整数的商，则称这个数为有理数
(例如：0.3=frac{3}{10},为有理数)
(而sqrt{2}无法表示为两个整数的商)
【数域】
有理数经过加减乘除四则运算的结果，依然是有理数，因此，称为全体有理数，组成一个数域
【符号定义】
(Z为整数，N为自然数，N^+为正整数，Q为有理数，R为实数，RQ为无理数)
【数轴上任何一点，都可以用有理数无限靠近】
(对于有理数frac{p}{q},q为正整数，固定q，让p取变全体整数，那么frac{p}{q}把数轴分成长度为frac{1}{q}的区间)
任何一个数轴上的数字必然位于这些区间中的一个，即，对任何数字，能找到p
(有frac{p}{q}leq x<frac{p+1}{q})
(例如，frac{37}{7}<5.3<frac{38}{7}),
(可得 0<5.3-frac{37}{7}<frac{1}{7})
(可得 |5.3-frac{37}{7}|<frac{1}{7})
(如果把上面的frac{1}{7}换成frac{1}{100000})
(同样可以找到某个数字frac{M}{10})
(有|5.3-frac{M}{10}|<frac{1}{100000})
可见，数轴上任何数字，都可以用有理数无限逼近到任意精确的程度
(总结：对固定的正整数q，从原点O开始，以frac{1}{q}为单位，对原点两侧的整个数轴进行划分成无穷多个长度为fracPfrac{1}{q}的区间，)
(则数轴上任意一个点代表的数字，或者跟划分的间隔点重合，或者位于两个间隔点之间的某个区间)
(即,对任意实数，存在整数p，有)
(frac{p}{q}leq<x<frac{p+1}{q})
(可得quad 0leq x-frac{p}{q}<frac{1}{q})
(可得quad |x-frac{p}{q}|<frac{1}{q})
(当q任意大的时候，frac{1}{q}可以任意小，故，任何数轴上的实数都可以用有理数无限逼近到任意精度)
【稠密】
设E是一个实数组成的集合，即实数组成的数集，如果在任意两个实数之间，都至少有一个E中数字，则称E为稠密的。
前面的讨论说明有理数集Q，在实数R中是稠密的。
(例1quad 求证：若nin N^+,且n不是完全平方数，则 sqrt{n}是无理数)
证明：用反证法
(假设sqrt{n}=frac{p}{q},p,q in N^+)
(则有quad n=frac{p^2}{q^2}，可得quad p^2=nq^2 qquad ①)
(因为n不是完全平方数，故存在m in N^+,有m<sqrt{n}<m+1)
(即quad m<frac{p}{q}<m+1)
(可得quad mq<p<mq+q)
(可得quad 0<p-mq<qquad②)
(①式两边都减去mpq,得到)
(p^2-mpq=nq^2-mpq)
(可得quad p(p-mq)=q(nq-mp)quad③)
(可得quad frac{p}{q}=frac{nq-mp}{p-mq})
(设p_{1}=nq-mp,q_{1}=p-mq，)
(则③式变为:quadquadfrac{p}{q}=frac{p_{1}}{q_{1}}④)
(由②式得:q_{1}<q)
(由④式，p=frac{p_{1}}{q_{1}}q<frac{p_{1}}{q}q=p_{1})
(即，p<p_{1},q<q_{1})
(由④式，sqrt{n}=frac{p}{q}=frac{p_{1}}{q_{1}})
(可得quad sqrt{n}=frac{p_{1}}{q_{1}})
(重复以上步骤可得sqrt{n}=frac{p}{q}=frac{p_{1}}{q_{1}}=frac{p_{2}}{q_{2}}=frac{p_{3}}{q_{3}}=...)
(可以无限进行下去，且q>q_{1}>q_{2}>q_{3}...,p>p_{p1}>p_{2}>p_{3}...)
(但是p,q是有限的，不可能无限递减，矛盾)
(证毕)