闭区间套：
(设[a_{n},b_{n}]为实数域内的闭区间，nin N^+,且a_{n}supset a_{n+1})
(lim_{n oinfty}(a_{n}-b{n})=0)
(则，存在唯一一个实数xiin 所有闭区间[a_{n},b_{n}])
确界定理：设A为实数域内数集，且有上界（下界），则必有上确界（下确界）。
用实数域内的闭区间套定理证明确界定理在实数域内成立
证明:
(设A的全体上界的集合为B%
)设a_{1}in A,b_{1}in B(
)因为B为A的全体上界集合，可知a_{1}<b_{1}(
)考察区间[a_{1},b_{1}]的中点c，若cin A,则设a_{2}=c(
)否则,c必然属于B,设b_{2}=(
)对[a_{2},b_{2}]，重复上述步骤，得到[a_{3},b_{3}](
)以上步骤一直重复，得到闭区间套[a_{n},b_{n}](
)由闭区间套定理，存在唯一一个实数xi属于所有闭区间[a_{n},b_{n}].(
)假设存在xin A,有x>xi,则可建立闭区间区间[xi,x]，可以将上述过程继续下去，$