只证上界存在，下界同理。
【证明】
反证法，假设f(x)在闭区间[a,b]上连续，假设没有上界
(则forall nin N,exists x_{n}in [a,b],)
(有f(x_{n})>nquadquadquadquadquadquad(1))
(因为x_{n}in[a,b]，故x_{n}有界)
(故，可从中取出一个收敛子列，记为x_{n_{k}}，由(1)式有f(x_{n_{k}})>n_{k})
(lim_{n_{n_{k}} oinfty}f(x_{n_{k}})=+inftyquadquad(2))
(因为lim_{n_{k} oinfty}x_{n_{k}}=x_{0})
(所以,根据连续函数定义，可得：lim_{n_{k} oinfty}f(x_{n_{k}})=f(x_{0}))
(与(2)式矛盾)
(证毕)
(下界同理)
【注意】
(如果是开区间，则有的函数有界，例如y=x,在开区间(0,1)上连续，且有界)
(但是f(x)=frac{1}{x}在开区间(0,1)连续，但是无界，当x o 0时,f(x) o+infty)