字符串匹配——朴素算法、KMP算法

字符串匹配（string match)是在实际工程中经常会碰到的问题，通常其输入是原字符串(String)和子串（又称模式，Pattern)组成，输出为子串在原字符串中的首次出现的位置。通常精确的字符串搜索算法包括朴素搜索算法，KMP, BM(Boyer Moore), sunday, robin-karp 以及 bitap。下面分析朴素搜索算法和KMP这两种方法并给出其实现。假设原字符T串长度N，子串P长度为M。

1.NAIVE—STRING—MATCHING.

朴素算法，该方法又称暴力搜索，也是最容易想到的方法。

预处理时间 O(0)

匹配时间复杂度O(N*M)

主要过程：从原字符串开始搜索，若出现不能匹配，则从原搜索位置+1继续。

代码如下：

1. void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P)

2. {

3. int n=T.size();

4. int m=P.size();

5. int i;

6. for (int s=0;s<n-m;s++)

7. {

8. for (i=0;i<m;i++)

9. {

10. if (P[i]!=T[s+i])

11. {

12. break;

13. }

14. }

15. if (i==m)

16. {

17. cout<<"pattern occurs with shift "<<s<<endl;

18. }

19. }

20. }

2.Knuth—Morris—Pratt算法

简称KMP算法，举例来说，有一个字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，我想知道，里面是否包含另一个字符串”ABCDABD”？

许多算法可以完成这个任务，Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP）是最常用的之一。它以三个发明者命名，起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。

这种算法不太容易理解，网上有很多解释，但读起来都很费劲。直到读到Jake Boxer的文章，我才真正理解这种算法。下面，我用自己的语言，试图写一篇比较好懂的KMP算法解释。

1.

首先，字符串”BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”的第一个字符与搜索词”ABCDABD”的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

2.

因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

3.

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

4.

接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

5.

直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

6.

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把”搜索位置”移到已经比较过的位置，重比一遍。

7.

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是”ABCDAB”。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把”搜索位置”移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

8.

怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

9.

已知空格与D不匹配时，前面六个字符”ABCDAB”是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的”部分匹配值”为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

　　移动位数 = 已匹配的字符数 – 对应的部分匹配值

因为 6 – 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10.

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（”AB”），对应的”部分匹配值”为0。所以，移动位数 = 2 – 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

11.

因为空格与A不匹配，继续后移一位。

12.

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 – 2，继续将搜索词向后移动4位。

13.

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 – 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

14.

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念：”前缀”和”后缀”。 “前缀”指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；”后缀”指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

15.

“部分匹配值”就是”前缀”和”后缀”的最长的共有元素的长度。以”ABCDABD”为例，

　　－　”A”的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；

－　”AB”的前缀为[A]，后缀为[B]，共有元素的长度为0；

－　”ABC”的前缀为[A, AB]，后缀为[BC, C]，共有元素的长度0；

－　”ABCD”的前缀为[A, AB, ABC]，后缀为[BCD, CD, D]，共有元素的长度为0；

－　”ABCDA”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD]，后缀为[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为”A”，长度为1；

－　”ABCDAB”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为”AB”，长度为2；

－　”ABCDABD”的前缀为[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为0。

16.

“部分匹配”的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，”ABCDAB”之中有两个”AB”，那么它的”部分匹配值”就是2（”AB”的长度）。搜索词移动的时候，第一个”AB”向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个”AB”的位置。

KMP算法主要分为两个部分：

一、求子串P部分匹配值数组；

上面已经分析过，具体代码如下，其中pi指的是部分匹配数组；

1. void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi)

2. {

3. int m=P.size();

4. pi[0]=0;

5. pi[1]=0;

6. int k=0;

7. for (int q=2;q<m;q++)

8. {

9. while (k>0&&P[k+1]!=P[q])

10. {

11. k=pi[k];

12. }

13. if (P[k+1]==P[q])

14. {

15. k=k+1;

16. }

17. pi[q]=k;

18. }

19. }

二、求字符匹配位置；

按上面分析给出如下代码，为了方便，我们给T,P前面分别增加一个字符“%”和“*”，这样字符串中的第i个字符在代码中的下标也为i，这样可以防止数组溢出，易于理解。

1. void KMP_MATCHER(string &T,string &P)

2. {

3. T="%"+T;

4. P="*"+P;

5. int m=P.size();

6. vector<int> pi(m);

7. int n=T.size();

8. COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(P,pi);

9. int q=0;

10. int i;

11. for (i=1;i<n;i++)

12. {

13. while (q>0&&P[q+1]!=T[i])

14. {

15. q=pi[q];

16. }

17. if (P[q+1]==T[i])

18. {

19. q=q+1;

20. }

21. if (q==m-1)

22. {

23. cout<<"pattern occurs with shift "<<i-q<<endl;

24. q=pi[q];

25. }

26. }

27. }

完整代码如下：

头文件：

1. #include <iostream>

2. #include <string>

3. #include <vector>

4. using namespace std;

5. void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi);

6. void KMP_MATCHER(string &T,string &P);

7. void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P);

main函数：

1. #include"head.h"

2.  

3. void main()

4. {

5. string T="BBC ABCDAB ABCDABCDABDEFABCDABDff";

6. string P="ABCDABD";

7. cout<<"NAIVE:"<<endl;

8. NAIVE_STRING_MATCHING(T,P);

9. cout<<"KMP:"<<endl;

10. KMP_MATCHER(T,P);

11. }

12. void COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(string P,vector<int>& pi)

13. {

14. int m=P.size();

15. pi[0]=0;

16. pi[1]=0;

17. int k=0;

18. for (int q=2;q<m;q++)

19. {

20. while (k>0&&P[k+1]!=P[q])

21. {

22. k=pi[k];

23. }

24. if (P[k+1]==P[q])

25. {

26. k=k+1;

27. }

28. pi[q]=k;

29. }

30. }

31. void KMP_MATCHER(string &T,string &P)

32. {

33. T="%"+T;

34. P="*"+P;

35. int m=P.size();

36. vector<int> pi(m);

37. int n=T.size();

38. COMPUTE_PREIFX_FUNCTION(P,pi);

39. int q=0;

40. int i;

41. for (i=1;i<n;i++)

42. {

43. while (q>0&&P[q+1]!=T[i])

44. {

45. q=pi[q];

46. }

47. if (P[q+1]==T[i])

48. {

49. q=q+1;

50. }

51. if (q==m-1)

52. {

53. cout<<"pattern occurs with shift "<<i-q<<endl;

54. q=pi[q];

55. }

56. }

57. }

58.  

59. void NAIVE_STRING_MATCHING(string T,string P)

60. {

61. int n=T.size();

62. int m=P.size();

63. int i;

64. for (int s=0;s<n-m;s++)

65. {

66. for (i=0;i<m;i++)

67. {

68. if (P[i]!=T[s+i])

69. {

70. break;

71. }

72. }

73. if (i==m)

74. {

75. cout<<"pattern occurs with shift "<<s<<endl;

76. }

77. }

78. }

运行结果如下：

ABCDABD继BBC ABCDAB ABCDABCDABDEFABCDABDff第15个元素出现了一次，继第24个元素之后出现了一次。

本文代码参照算法导论第32章伪代码编写；

部分内容参考：http://blog.jobbole.com/39066/