逆元
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百度简单介绍一句
逆元 一般指逆元素 逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。
先来引入取模（取余，两者差别不大）概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
为什么除法错的
证明是对的难，证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？
答案当然是 NO (>o<)
这时就需要逆元了
a*x = 1 (mod p) 满足a乘以x对p取模等于1 此时 称 x为a对p的逆元
只有a与p互质才有逆元 互质 公约数只有1 最大公约数为1
费马小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
变形 a*a^(p-2) ≡1 (mod p)
此时 a^(p-2)就是a对p的逆元
1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p) //用到快速幂的知识，函数返回a的b次方对p取模 2 { 3 LL ret = 1; 4 while(b) 5 { 6 if(b & 1) 7 ret = (ret * a) % p; 8 a = (a * a) % p; 9 b >>= 1; 10 } 11 return ret; 12 } 13 LL Fermat(LL a, LL p) //返回a对p的逆元 14 { 15 return pow_mod(a, p-2, p); 16 }
扩展欧几里得
ax+by=gcd(a,b)
把b看做p a与b互质 所以 gcd(a,b)=1,即ax+by=1
这个解的x就是a关于b的逆元，y就是b关于a的逆元
证明 两边同对b取模
a*x % b + b*y % b = 1 % b
a*x % b = 1 % b
a*x = 1 (mod b)
所以x是a关于b的逆元 反之可证明y
1 void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d) //欧几里得函数 2 { 3 if (!b) 4 {d = a, x = 1, y = 0;} 5 else 6 { 7 exgcd(b, a % b, y, x, d); 8 y -= x * (a / b); 9 } 10 } 11 LL inv(LL t, LL p) //返回t对p的逆元 12 { 13 LL d, x, y; 14 exgcd(t, p, x, y, d); 15 return (x % p + p) % p; //x可能为负，也可能过大 16 }
递推方法
1 LL inv(LL t, LL p) //求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下 2 { 3 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; 4 }
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菜鸡一枚 欢迎大佬纠错